eine asymptotische Entwicklung der Funktion µ nach Potenzen von z⁻¹, wobei µ durch \begin{eqnarray}\mu (z):=\mathrm{log}\Gamma (z)-\left(z-\frac{1}{2}\right)\mathrm{log}z+z-\frac{1}{2}\mathrm{log}2\pi \end{eqnarray}

definiert ist, und Γ die Eulersche Γ-Funktion bezeichnet. Es ist µ eine in der geschlitzten Ebene ℂ⁻ = ℂ \ (−∞, 0] holomorphe Funktion.

Für k ∈ ℕ₀ sei B_k die k-te Bernoullische Zahl und B_k(w) das k-te Bernoulli-Polynom. Weiter sei P_k : ℝ → ℝ diejenige periodische Funktion der Periode 1 mit P_k(t) = B_k(t) für t ∈ [0, 1). Dann gilt für z ∈ ℂ⁻ und n ∈ ℕ \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}\mu (z) & = & \displaystyle \sum _{v=1}^{n}\frac{{B}_{{2}_{v}}}{2v(2v-1)}\frac{1}{{z}^{2v-1}}\\ & & -\displaystyle\frac{1}{2n+1}\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty}{\int}}\frac{{P}_{2n+1}(t)}{{(z+t)}^{{2}_{n+1}}}dt.\end{array}\end{eqnarray}

Diese Reihe heißt Stirlingsche Reihe.

Die Stirlingsche Reihe ist keine Laurent-Entwicklung von µ, denn µ besitzt an 0 keine isolierte Singularität. Es gilt sogar, daß die Folge \begin{eqnarray}\frac{{B}_{2v}}{2v(2v-1)}\frac{1}{{z}^{2v-1}}\end{eqnarray}

für jedes z ∈ ℂ \ {0} unbeschränkt ist. Daher erhält die Stirlingsche Reihe erst durch eine Abschätzung des Integrals ihren vollen Sinn. Man kann zeigen, daß es zu jedem n ∈ ℕ eine Zahl M_n > 0 gibt derart, daß für alle z = |z|e^iϕ ∈ ℂ⁻ gilt \begin{eqnarray}\left|\mu (z)-\displaystyle \sum _{v=1}^{n}\frac{{B}_{{2}_{v}}}{2v(2v-1)}\frac{1}{{z}^{{2}_{v-1}}}\right|\le \frac{{M}_{n}}{{\cos}^{{2}{n+2}}\frac{\phi}{2}}\frac{1}{|z{|}^{{2}{n+1}}}.\end{eqnarray}

Für δ ∈ (0, π] bezeichne W_δ den Winkelraum \begin{eqnarray}{W}_{\delta}:=\{z=r{e}^{i\varphi}:r\gt 0,|\varphi |\le \pi -\delta \}.\end{eqnarray}

Aus der obigen Abschätzung erhält man dann für jedes W_δ und jedes n ∈ ℕ \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{\begin{array}{c}z\to \infty \\ z\in W\delta \end{array}}\left|\mu (z)-\displaystyle \sum _{v=1}^{n}\frac{{B}_{2v}}{2v(2v-1)}\frac{1}{{z}^{2v-1}}\right||z{|}^{2n}=0.\end{eqnarray}