Integration stochastischer Prozesse, Verallgemeinerung der klassischen Integrationstheorie, welche sogenannte stochastische Integrale betrachtet, bei denen ein bestimmter stochastischer Prozeß bezüglich eines gewissen anderen oder auch desselben stochastischen Prozesses integriert wird.

Es seien (Ω, 𝔄, P) ein vollständiger Wahrscheinlichkeitsraum und (𝔄_t)_t≥0 eine Standardfiltration in 𝔄. Ist X = (X_t)_t≥0 ein an (𝔄_t)_t≥0 adaptierter stetiger stochastischer Prozeß und M = (M_t)_t≥0 ein rechtsstetiges lokales L²-Martingal (d. h. für alle t ≥ 0 gilt \(\int {M}_{t}^{2}dP\lt \infty)\) bezüglich (𝔄_t)_t≥0 mit Pfaden von lokal beschränkter Variation, so ist das stochastische Integral \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int}\limits_{[0,t]}{X}_{s}(\omega)d{M}_{s}(\omega)\end{eqnarray}

für jedes ω ∈ Ω als Riemann-Stieltjes-Integral (Stieltjes-Integral) wohldefiniert.

Im allgemeinen ist eine derartige pfadweise Definition des stochastischen Integrals nicht möglich, da die Pfade jedes nicht konstanten stetigen lokalen Martingals M nicht von lokal beschränkter Variation sind. Im folgenden wird eine von mehreren möglichen Konstruktionen des stochastischen Integrals ∫_[0,t]XdM beschrieben, die für ein an (𝔄_t)_t≥0 adaptiertes rechtsstetiges L²-Martingal M = (M_t)_t≥0 und bestimmte Prozesse (X_t)_t≥0 anwendbar ist. Der Prozeß (∫_[0,t]XdM)_t≥0 ist dann ein rechtsstetiges L²-Martingal. Im Falle, daß M eine eindimensionale Brownsche Bewegung ist, wird das so konstruierte stochastische Integral als Itô-Integral bezeichnet. Die dargestellte Konstruktion kann für rechtsstetige lokale L²-Martingale verallgemeinert werden. Es sei M ein rechtsstetiges L²-Martingal. Die Definition des stochastischen Integrals erfolgt in mehreren Schritten, wobei der Prozeß (X_t)_t≥0 als Abbildung von der Menge \({{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\times \Omega \) nach ℝ mit (t, ω) → X_t(ω) aufgefaßt wird. Für die Indikatorfunktionen sogenannter vorhersagbarer Rechtecke (s, t] × A mit s< t aus \({{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\) und A ∈ 𝔄_s bzw. {0}×A₀ mit A₀ in 𝔄₀ definiert man \begin{eqnarray}\displaystyle \int {1}_{(s,t)\times A}dM:={1}_{A}({M}_{t}-{M}_{s})\end{eqnarray}

bzw. \(\displaystyle \int {1}_{\{0\}\times {A}_{0}}dM:=0\). Es sei \({\mathcal{E}}\) die Menge aller endlichen Linearkombinationen solcher Indikatorfunktionen. Für ein Element \begin{eqnarray}X=\displaystyle \sum _{j=1}^{n}{c}_{j}{1}_{({s}_{j,}{t}_{j})\times {A}_{j}}+\displaystyle \sum _{k=1}^{m}{d}_{k}{1}_{\{0\}\times {A}_{0k}}\end{eqnarray}

aus \({\mathcal{E}}\) mit c_j ∈ ℝ, A_j ∈ 𝔄_j, s_j< t_j, j = 1, …, n und d_k ∈ ℝ, A₀k ∈ 𝔄₀, k = 1, …, m, wobei die vorhersagbaren Rechtecke o. B. d. A. als disjunkt angenommen werden können, wird das Integral linear fortgesetzt, d. h. man definiert \begin{eqnarray}\displaystyle \int XdM:=\displaystyle \sum _{j=1}^{n}{c}_{j}{1}_{{A}_{j}}({M}_{{t}_{j}}-{M}_{{s}_{j}}).\end{eqnarray}

Der Wert des Integrals hängt dabei nicht von der gewählten Darstellung von X ab. Da M als rechtsstetiges L²-Martingal vorausgesetzt wurde, existiert auf der von den vorhersagbaren Rechtecken erzeugten sogenannten σ-Algebra der vorhersagbaren Ereignisse 𝔓 ein eindeutig bestimmtes Maß μ_M mit der Eigenschaft \begin{eqnarray}{\mu}_{M}((s,t]\times A)=E({1}_{A}{({M}_{t}-{M}_{s})}^{2})\end{eqnarray}

für alle s< t und A ∈ 𝔄_s, das als Doléans-Maß bezeichnet wird. Die Abbildung X → ∫XdM von der im Hilbertraum L²(\({{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\) × Ω, 𝔓, μ_M) dichten Menge \({\mathcal{E}}\) in den Hilbertraum L²(Ω, 𝔄, P) ist eine lineare Isometrie, welche eindeutig zu einer linearen Isometrie von L²(\({{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\) × Ω, 𝔓, μ_M) in L²(Ω, 𝔄, P) fortgesetzt werden kann. Für beliebiges X ∈ L²(\({{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\) × Ω, 𝔓, μ_M) wird das Integral ∫XdM als das Bild von X unter dieser Isometrie definiert. Für jeden stochastischen Prozeß (X_t)_t≥0 mit der Eigenschaft, daß die Abbildung (t, ω) → X_t(ω) 𝔓-meßbar ist, und für den darüber hinaus die durch (s, ω) → 1_[0,t](s)X(s, ω) definierte Abbildung 1_[0,t]X von \({{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\) × Ω nach ℝ für jedes t ≥ 0 zu L²(\({{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\) × Ω, 𝔓, μM) gehört, ist das Integral ∫1_[0,t]XdM somit wohldefiniert. Für Elemente X ∈ \({\mathcal{E}}\) mit der angegebenen Darstellung gilt speziell \begin{eqnarray}\displaystyle \int {1}_{[0,t]}XdM=\displaystyle \sum _{j=1}^{n}{c}_{j}{1}_{{A}_{j}}({M}_{{t}_{j}\wedge t}-{M}_{{s}_{j}\wedge t}),\end{eqnarray}

wobei t_j ∧ t bzw. s_j ∧ t jeweils das Minimum der beiden Zahlen bezeichnet. Der Prozeß (∫1_[0,t]XdM)_t≥0 ist ein L²-Martingal und besitzt eine Version mit ausschließlich rechtsstetigen Pfaden. Sind alle Pfade von M stetig, so existiert eine Version von (∫1_[0,t]XdM)_t≥0, deren Pfade sämtlich stetig sind. Die genannte Erweiterung des Integralbegriffs für den Fall, daß M ein rechtsstetiges lokales L²-Martingal ist und allgemeinere Integranden (X_t)_t≥0 wird unter Verwendung bestimmter monoton wachsender Folgen von Stoppzeiten durchgeführt.

[1] Chung K. L.; Williams, R. J.: Introduction to Stochastic Integration (2nd ed.). Birkhäuser Boston, 1990.
[2] Karatzas, I.; Shreve, S. E.: Brownian motion and stochastic calculus (2nd ed.). Springer New York, 1991.