Eigenschaft des geodätischen Flusses einer Riemannschen Mannigfaltigkeit negativer Schnittkrümmung.

Es sei M eine kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit und ϕ_t : T(M) → T(M) die eingliedrige Transformationsgruppe des geodätischen Flusses von M. Da die Niveaumannigfaltigkeiten \begin{eqnarray}{N}_{c}=\{(x,\xi)\in T(M);g(\xi, \xi)=c=\text{const}\}\end{eqnarray}

ebenfalls kompakt sind, ist ϕ_t ein für alle t ∈ ℝ definierter Diffeomorphismus von N_c. Hat M negative Schnittkrümmung, so gilt:

• Fast alle Trajektorien ϕ_t (x, ξ) von Tangentialvektoren (x, ξ) ∈ N_c sind in N_c überall dicht. Die Punkte (x, ξ) ∈ N_c, für die ϕ_t (x, ξ) nicht überall dicht ist, bilden in N_c eine Menge vom Maß Null.
• Der zeitliche Teil, in dem sich die Trajektorie ϕ_t (x, ξ) in einem beliebigen offenen Gebiet G ⊂ N_c aufhält, ist für fast alle (x, ξ) ∈ N_c proportional zum Volumen V von G (Eigenschaft der gleichmäßigen Verteilung).
• Sind A und B zwei beliebige Gebiete in N_c, so ist \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{t\to \infty}\text{meas}\,({\varphi}_{t}(A)\cap B)=\text{meas}(A)\,\,\text{meas}(B),\end{eqnarray} wobei meas das normierte Volumen bezeichnet, d. h., das eindeutig durch die Riemannsche Metrik bestimmte Volumen, für das das Volumen der gesamten Mannigfaltigkeit N_c den Wert 1 hat (Eigenschaft der Mischung).