für Mathematik und Anwendungen, speziell etwa in der Physik, enorm wichtiger Satz, der es – im Spezialfall – gestattet, gewisse Oberflächenintegrale durch Kurvenintegrale längs des Randes der Fläche (und umgekehrt) auszudrücken: \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int}\limits_{{\mathfrak{G}}}{\mathfrak{n}}\cdot (\nabla \times f)\,do=\displaystyle \mathop{\int}\limits_{{\mathfrak{G}}}\text{rot}f\cdot {\mathfrak{n}}\,do=\displaystyle \mathop{\int}\limits_{\partial {\mathfrak{G}}}f\cdot {\mathfrak{t}}ds\end{eqnarray}

Dabei bezeichnen 𝔫 die Normale, \({\mathfrak{t}}\) den Tangenteneinheitsvektor in den Punkten des positiv orientierten Randes ∂𝔊 einer Fläche 𝔊 im ℝ³, und f eine auf einem Gebiet, das 𝔊 enthält, definierte stetig differenzierbare Vektorfunktion.

In physikalischen Anwendungen bedeutet der Satz: Die Zirkulation eines Feldes f längs einer geschlossenen Kurve ist gleich dem Fluß des Feldes rot f durch eine in die Kurve eingespannte Fläche. Er ist ein viel benutztes Werkzeug zur Behandlung der Strömung von Flüssigkeiten und Gasen sowie zur Beschreibung der Wechselwirkung zwischen elektrischen und magnetischen Feldern. Der Satz in dieser klassischen Form ist Spezialfall des allgemeinen Satzes von Stokes der Vektoranalysis, der in einem wesentlich allgemeineren Rahmen (Cartan-Kalkül) eine einheitliche und elegante Darstellung ‚aller‘ Integralsätze liefert.

[1] Heuser, H.: Lehrbuch der Analysis, Teil 2. Teubner-Verlag Stuttgart, 1993.
[2] Walter, W.: Analysis 2. Springer-Verlag Berlin, 1992.