Bedingung an eine Mengenfunktion.

Es sei Ω ein Hausdorffraum, \({\mathcal{K}}\) ⊆ 𝒫(Ω) die Menge der kompakten Untermengen von Ω, und µ₀ : \({\mathcal{K}}\) → ℝ₊ eine nichtnegative Mengenfunktion auf \({\mathcal{K}}\). Dann sagt man, daß µ₀ die Straffheitsbedingung erfüllt, falls für alle (K, L) ⊆ \({\mathcal{K}}\) mit K ⊆ L gilt: \begin{eqnarray}{\mu}_{0}(L)-{\mu}_{0}(K)=\sup \{{\mu}_{0}(C)|C\in {\mathcal{K}},C\subseteq L\backslash K\}.\end{eqnarray}

Eine isotone, additive und subadditive Mengenfunktion auf \({\mathcal{K}}\), die obige Straffheitsbedingung erfüllt, hat genau eine Fortsetzung zu einem von innen regulären Maßμ auf ℬ(ℝ₊). Für dieses Maß gilt für alle A ∈ ℬ(Ω), daß \begin{eqnarray}\mu (A)=\sup \{{\mu}_{0}(K)|K\in {\mathcal{K}},K\subseteq A\}\end{eqnarray}

ist. Siehe auch Radon-Maß und Riesz, Darstellungssatz von.