Erweiterung der Intervallarithmetik auf \({\mathbb{I}}\overline{{\mathbb{R}}}=\{[\mathop{a}\limits_{\unicode {x000AF}},\overline{a}]|\mathop{a}\limits_{\unicode {x000AF}},\overline{a}\in \overline{{\mathbb{R}}},\mathop{a}\limits_{\unicode {x000AF}}\le \overline{a}\}\cup \{0\}.\). Dabei werden die arithmetischen Verknüpfungen &ogr; auf \(\overline{{\mathbb{R}}}={\mathbb{R}}\cup \{-\infty, +\infty \}\) sinnvoll erweitert, indem für unbestimmte Formen a&ogr;b wie z. B. 0·∞ die Grenzwerte lim_{ak→a, bk→b}a_k &ogr; b_k für alle möglichen Folgen (a_k) ∈ a,(b_k) ∈ b betrachtet werden. Es gilt \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{\bf a}\,{\unicode {x03BF}}\,{\bf b}=\diamond \overline{\{a\,{\unicode {x03BF}}\,b|a\in {\bf a},b\in {\bf b}\}}.\end{array}\end{eqnarray}

⋄ bezeichnet die Intervall-Hülle in \({\mathbb{I}}\overline{{\mathbb{R}}}\). Division durch Intervalle, die die 0 enthalten, ist erlaubt, nach (1) wird a/b = [−∞, +∞] gesetzt, falls 0 ∈ b. Etwas genauer wird die Einschließung der Divisionsergebnisse, wenn man mit dem als Außenintervall interpretierten formalen Kehrwert (2) multipliziert. \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\begin{array}{lll}1/{\bf b} & = & [1/\overline{b},1/\mathop{b}\limits_{\unicode {x000AF}}]\\ & = & \{1/b/b\in {\bf b}\}\\ & = & \{x|x\le 1/\mathop{b}\limits_{\unicode {x000AF}}\}\cup \{x|x\ge 1/\overline{b}\},\,\text{falls}\,0\in {\bf b}\end{array}\end{array}\end{eqnarray}

Eine formale Erweiterung der Arithmetik für Au-ßenintervalle ist durch Zerlegung der Außenintervalle möglich, beispielsweise \begin{eqnarray}{\bf a}\,{\unicode {x003BF}}\,({\bf b}\cup {\bf c})=({\bf a}\,{\unicode {x003BF;}\,\bf b})\cup ({\bf a}\, {\unicode {x003BF}\,{\bf c}})),\end{eqnarray}

führt aber schnell zu Ergebnissen [−∞, +∞]. Sinnvoll ist jedoch eine Verwendung der erweiterten Division im Intervall-Newton-Verfahren.

Auch für Intervall-Standardfunktionen gilt die (1) entsprechende Formel \begin{eqnarray}{\bf f}({\bf x})=\diamond \overline{\{f(x)|x\in {\bf x}\cap D(f)\}}.\end{eqnarray}

Man berechnet Funktionswerte nur für den Durchschnitt mit dem Definitionsbereich x ∩ D(f). Ist dieser leer, ist das Ergebnis die leere Menge. Für Polstellen werden die passenden Grenzwerte eingesetzt, z. B. ist tan \((\frac{\pi}{2})=[-\infty, +\infty ]\). Die Einschlie-ßungseigenschaft der Intervallrechnung gilt nun in verallgemeinerter Form.