Lexikon der Mathematik: Strudelpunkt
(engl. focus), ein Fixpunkt x0 ∈ W eines auf einer offenen Menge W ⊂ ℝ2 definierten Vektorfeldes f : W → ℝ2, dessen Linearisierung A = Df (x0) zwei konjugiert komplexe Eigenwerte α ± iω mit α, ω ≠ 0 besitzt.
A ist dann ähnlich zur Matrix
Ist der Realteil α positiv bzw. negativ, so ist x0 instabiler bzw. asymptotisch stabiler Fixpunkt des linearisierten Systems, das durch die lineare Abbildung Df (x0); ℝ2 → ℝ2 gegeben ist. Da x0hyperbolischer Fixpunkt ist, hat auch der Fixpunkt x0 von f diese Stabilität (Hartman-Grobman-Theorem). Sind die Eigenwerte von A rein imaginär (α = 0), so heißt x0 Wirbelpunkt. x0 ist dann stabiler, jedoch nicht asymptotisch stabiler Fixpunkt des linearisierten Systems. Es liegt dann kein hyperbolischer Fixpunkt vor; eine kleine Störung des Systems kann daher dazu führen, daß der Fixpunkt x0 von f (asymptotisch) stabil bzw. instabil wird. Daher kann in diesem Fall nicht auf die Stabilität des Fixpunktes x0 von f geschlossen werden. Die Phasenportraits sind in der Abbildung zu sehen.
Asymptotisch stabiler (links) und instabiler (rechts) Strudelpunkt
Es gilt folgender Satz:
Sei f ∈ C1 (W, ℝ2) mit offenem 0 ∈ W ⊂ ℝ2. Falls der Fixpunkt 0 von f ein Wirbelpunkt der Linearisierung Df (0) ist, dann ist 0 ein Wirbelpunkt, ein Wirbel-Strudelpunkt oder ein Strudelpunkt von f.
[1] Perko, L.: Differential Equations and Dynamical Systems. Springer-Verlag New York, 1996.
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