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Lexikon der Mathematik: Sturmscher Trennungssatz

lautet:

Sei I ⊂ ℝ ein Intervall, und seien a0, a1C0 (I). Dann gilt:

1) Jede nichttriviale Lösung y der homogenenlinearen Differentialgleichung zweiter Ordnung \begin{eqnarray}\begin{array}{cccc}{y}{^{\prime\prime}}+{a}_{1}(x){y}{^{\prime}}+{a}_{0}(x)y=0\end{array}\end{eqnarray}

hat in I höchstens abzählbar viele Nullstellen. Alle Nullstellen sind einfach und häufen sich nicht in I.

2) Die Nullstellen von zwei linear unabhängigen Lösungen y1, y2von (1) trennen sich, d. h., sind ηk die Nullstellen von y1und ξk die von y2, so gilt\begin{eqnarray}\ldots \lt {\eta}_{-1}\lt {\xi}_{-1}\lt {\eta}_{0}\lt {\xi}_{0}\lt {\eta}_{1}\lt {\xi}_{1}\lt \mathrm{\ldots.}\end{eqnarray}

Mit anderen Worten: Zwischen zwei aufeinanderfolgenden Nullstellen von y1liegt genau eine Nullstelle von y2und umgekehrt.

[1] Heuser, H.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. B. G. Teubner-Verlag Stuttgart, 1989.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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