bezeichnet in der Intervallrechnung die Eigenschaft \begin{eqnarray}\begin{array}{cccc}({\bf a}+{\bf b}){\bf c}\subseteq {\bf ac}+{\bf bc,}\end{array}\end{eqnarray}

die für beliebige reelle kompakte Intervalle a, b, c und die übliche Intervallarithmetik gilt. Das Beispiel \begin{eqnarray}\begin{array}{l}(2+(-2))\cdot [-1,1]=[0,0]\\\ne [-4,4]=2\cdot [-1,1]+(-2)\cdot [-1,1]\end{array}\end{eqnarray}

belegt, daß in (1) die echte Inklusion stehen kann. Die Gleichheit in (1) wird durch folgenden Satz vollständig geklärt, in dem m(a) den Mittelpunkt des Intervalls a bedeutet, und χ : 𝕀ℝ \ [0, 0] [−1, 1] durch das χ-Funktional \begin{eqnarray}\chi (\bf a)=\left\{\begin{array}{ll}\mathop{a}\limits_{\unicode {x000AF}}\sqrt{a} & \text{falls}\,|\mathop{a}\limits_{\unicode {x000AF}}|\le |\bar{a}|\\ \bar{a}/\mathop{a}\limits_{\unicode {x000AF}} & \text{sonst}\end{array}\right.\end{eqnarray} definiert ist. Dabei bezeichnet 𝕀ℝ die Menge aller reellen kompakten Intervalle.

In (1) gilt Gleichheit füra = 0 oderb = 0 oderc = 0. Ansonsten gilt Gleichheit genau dann, wenn eine der drei folgenden Bedingungen erfüllt ist:

1. χ(c) = 1, d. h.cist ein Punktintervall;

2. 0 ≤ χ(c) < 1, d. h. 0 ist kein innerer Punkt vonc, und es gilt

(a) ab ≥ 0, für alle a ∈ a, b ∈ b, oder

(b) χ(a) ≤ 0, χ (b) ≤ 0;

3. χ(c) < 0, d. h. 0 ist ein innerer Punkt vonc, und es gilt

(a) m(a)m(b)≥ 0, χ(c)≤ χ(a), χ(c)≤ χ(b), oder

(b) χ(c) ≥ χ(a), χ(c) ≥ χ(b).