spezielle reellwertige Abbildung eines reellen Vektorraumes.

Es sei V ein reeller Vektorraum. Dann heißt eine Abbildung p : V → ℝ sublinear, falls für alle x, y ∈ V die Ungleichung \begin{eqnarray}p(x\text{}+\text{}y)\text{}\le \text{}p(x)\text{}+\text{}p(y)\end{eqnarray}

und für alle x ∈ V, α ≥ 0 die Gleichung \begin{eqnarray}p(\alpha \text{}\cdot \text{}x)\text{}=\text{}\alpha \text{}\cdot \text{}p(x)\end{eqnarray}

gilt. Sublineare Abbildungen spielen eine große Rolle beim Beweis des Fortsetzungssatzes von Hahn-Banach (Hahn-Banach-Sätze).

In der Intervallrechnung bezeichnet der Begriff sublineare Abbildung eine Abbildung f : 𝕀ℝ^m → 𝕀ℝⁿ (𝕀ℝ^k = Menge aller reeller k-komponentiger Intervallvektoren) mit folgenden drei Eigenschaften: \begin{eqnarray}\begin{array}{llr}\text{a)} & \bf x\subseteq y\Rightarrow f(x)\subseteq f(y) & \text{(Inklusionsisotonie)},\\ \text{b)} & \alpha \in {\mathbb{R}}\Rightarrow \bf f(\alpha x)=\alpha f(x) & \text{(Homogenitat),}\\ \text{c)} & \bf f(x+y)\subseteq f(x)+f(y) & \text{(Subadditivitat)}\text{.}\end{array}\end{eqnarray}

Dabei sind x, y aus 𝕀ℝ^m.

Eine sublineare Abbildung f kann durch \begin{eqnarray}{\bf f}{\bf (A)} = {(\bf {f}(\bf A}{e}^{(1)})\text{,}\text{.}\text{.}\text{., f(A}{e}^{(p)}\text{))}\in\,{\mathbb{I}}{{\mathbb{R}}}^{n\times p}\end{eqnarray}

(e⁽ⁱ⁾i-te Spalte der p × p Einheitsmatrix) auf reelle (m × p)-IntervallmatrizenA erweitert werden.

|f| = |f([−I, I])| mit der (m × m)-Einheitsmatrix I und dem Betrag | · | einer Intervallmatrix heißt Betrag von f, \begin{eqnarray}{\bf cor(f) = f(}I\text{) = (f(}{e}^{(1)}\text{),}\text{.}\text{.}., {\bf f}({\bf e}^{(n)}\text{))}\in \text{}{\mathbb{I}}{{\mathbb{R}}}^{{n}\times {n}}\end{eqnarray}

heißt Kern von f.

Besitzt eine sublineare Abbildung f die zusätzliche Eigenschaft \begin{eqnarray}d({\bf f}(x))\ge |{\bf f}|\cdot d({\bf x})\end{eqnarray}

mit dem Durchmesser d(·), so heißt sie normal. Besitzt sie weiterhin noch die Eigenschaft \begin{eqnarray}\bar{x}\in {{\mathbb{R}}}^{n},\quad 0\in {\bf {f}(}\bar{x}\text{)}\Rightarrow \bar{x}=0,\end{eqnarray}

so heißt sie regulär.

Beispiele für sublineare Abbildungen:

a) Ist A eine (n × m)-Intervallmatrix, so ist die durch f(x) = A · x definierte Intervall-Funktion f eine normale sublineare Abbildung, die im Fall einer regulären IntervallmatrixA regulär ist.

b) Die Zuordnung der rechten Seite b eines Intervall-GleichungssystemsAx = b zur zugehörigen Hülleninversen ist eine sublineare Abbildung, die auch bei regulärer Intervallmatrix A weder normal noch regulär zu sein braucht.

c) Die Zuordnung der rechten Seite b eines Intervall-Gleichungssystems Ax = b zum Ergebnisvektor IGA(A,b) des Intervall-Gauß-Algorithmus ist eine normale sublineare Abbildung.