das Problem, ob ein gegebenes Element eines Rings oder Körpers als Summe von Quadraten aus dem Ring bzw. aus dem Körper geschrieben werden kann.

Von besonderem Interesse ist hierbei die Problemstellung, ob eine vorgegebene natürliche Zahl und insbesondere ob eine vorgegebene Primzahl als Summe von höchstens l Quadraten darstellbar ist. Liegt eine solche Darstellbarkeit vor, so interessiert auch, wieviel wesentlich verschiedene Darstellungen existieren.

Für l = 2 vgl. man natürliche Zahlen als Summe zweier Quadrate.

Für l = 3 gilt der Satz: Eine natürliche Zahl n ist darstellbar als Summe von drei Quadraten, falls n nicht von der Form \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}n\text{}=\text{}{2}^{k}(8r\text{}+\text{}7), & k,r\in {{\mathbb{N}}}_{0}\end{array}\end{eqnarray}

ist. Beispielsweise gilt \begin{eqnarray}3\text{}=\text{}{1}^{2}\text{}+\text{}{1}^{2}\text{}+\text{}{1}^{2},\quad \text{}11\text{}=\text{}{3}^{2}\text{}+\text{}{1}^{2}\text{}+\text{}{1}^{2}\text{}.\end{eqnarray}

Die Primzahl 7 ist nicht darstellbar als die Summe von (zwei oder) drei Quadraten.

Von Lagrange wurde jedoch gezeigt: Jede natürliche Zahl ist darstellbar als Summe von vier Quadraten. Der Beweis geht auf Ideen von Euler zuück. Das Ergebnis wurde bereits von Bachet und Fermat vermutet. Wir erhalten \begin{eqnarray}7\text{}=\text{}{2}^{2}\text{}+\text{}{1}^{2}\text{}+\text{}{1}^{2}\text{}+\text{}{1}^{2}\text{}.\end{eqnarray}

Die Fragestellung der Darstellbarkeit ist ebenfalls interessant, wenn sie auf allgemeinere Ringe oder Körper ausdehnt wird. Beispielsweise gilt: In jedem beliebigen Körper der Charakteristik ≠ 2 ist jedes totalpositive Element als Summe von Quadraten darstellbar. Hierbei heißt ein Element totalpositiv, falls es positiv in jeder Anordnung des Körpers ist.