bivariater Spline mit erhöhter Differenzierbarkeit an den Eckpunkten der zugrundeliegenden Triangulierung.

Es sei Δ = {T} eine reguläre Triangulierung eines einfach zusammenhängenden polygonal berandeten Grundbereichs Ω ⊆ ℝ², d. h., Δ besteht aus einer Menge von abgeschlossenen Dreiecken in der Ebene, so daß der Schnitt von je zwei Dreiecken entweder leer, eine gemeinsame Kante oder ein gemeinsamer Eckpunkt ist. Für vorgegebene ganze Zahlen r, q, 0 ≤ r< q, ist der Raum der bivariaten Splines \({S}_{q}^{r}(\Delta)\) vom Grad q mit Differenzierbarkeit r bezüglich. wie folgt definiert \begin{eqnarray}{S}_{q}^{r}(\Delta)=\{s\in {C}^{r}(\Omega):s|T\in {\Pi}_{q},\,\,T\in \Delta \}.\end{eqnarray}

Hierbei ist \begin{eqnarray}{\Pi}_{q}=span\{{x}^{i},{y}^{j}:i,j\ge 0,i+j\le q\}\end{eqnarray}

der Raum der bivariaten Polynome vom totalen Grad q. Dies ist eine Verallgemeinerung des Konzepts von Splines in einer Variablen (Splinefunktionen).

Weiter seien {v_i : i = 1, …, V} die Menge der Eckpunkte von Δ und ϱ_i, i = 1, …, V, geeignete ganze Zahlen mit der Eigenschaft r ≤ ϱ_i< q, i = 1, …, V. Der Raum der bivariaten Supersplines \({S}_{q}^{r,\vartheta}(\Delta)\) bezüglich. und ϑ = (ϱ₁, …, ϱ_V) ist definiert durch \begin{eqnarray}{S}_{q}^{r,\vartheta}(\Delta)=\{s\in {S}_{q}^{r}(\Delta):s\in {C}^{{e}_{i}}({v}_{i}),i=1,\ldots, V\}.\end{eqnarray}

Supersplines besitzten somit an den Eckpunkten von. im allgemeinen eine höhere Differenzierbarkeit als Splines aus \({S}_{q}^{r}(\Delta)\), sie bilden einen Unterraum der bivariaten Splines. Ein Großteil der klassischen Finite-Elemente-Methoden mit differenzierbaren Funktionen basiert auf der Verwendung von Supersplines.

In der Theorie bivariater Splines treten in vielen Situationen sich gegenseitig beeinflussende und schwierig zu analysierende Nodalwerte auf. Die Situation vereinfacht sich im allgemeinen durch Wahl eines geeigneten Supersplineraums. Bivariate Splines und Supersplines sind Räume von äußerst komplexer Struktur, welche bis heute (2002) nicht vollständig durchschaut ist. Daher sind diese Räume Gegenstand aktueller Forschung.