Anwendung der Darstellungstheorie von Gruppen in der Quantenmechanik.

Den Elementen einer Symmetriegruppe entsprechen Operationen an einem physikalischen System, die das System in sich überführen. Dabei verändern sich die meßbaren Eigenschaften des Systems nicht, inbesondere muß die Norm eines Zustandsvektors (Element eines Hilbertraums) bei einer Symmetrietransformation erhalten bleiben. Dies bedingt unitäre oder antiunitäre Darstellungen der Gruppe. Außerdem müssen die Darsteller der Gruppenelemente mit dem Hamilton-Operator kommutieren. Das wiederum bedeutet, daß die Energieniveaus eines Systems mit Symmetrie entartet sind: Zu jedem Eigenwert des Hamilton-Operators gehören mit einer Eigenfunktion auch alle Funktionen, die durch die Wirkung der Gruppenelemente erzeugt werden können. Sie bilden den Darstellungsraum einer irreduziblen Darstellung. Symmetriegruppen können diskret (wie im Fall von Kristallen) oder kontinuierlich (wie im Fall der Kugelsymmetrie) sein. Die Gruppentheorie gestattet auch zu erkennen, welche Matrixelemente einer physikalischen Größe ungleich Null und welche Übergänge somit in dem System möglich sind.

Die Methoden der Gruppentheorie sind von E. Wigner 1926 in die Quantenmechanik eingeführt worden.

[1] Wigner, E.: Group theory and its applications to the Quantum mechanics of atomic spectra. Academic Press New York London, 1959.
[2] Cracknell, A. P.: Angewandte Gruppentheorie. Akademie-Verlag Berlin, Pergamon Press Oxford, 1971.