reelle quadratische MatrixA mit der Eigenschaft \begin{eqnarray}A={A}^{t}\end{eqnarray}

(A^t bezeichnet die transponierte Matrix zu A). Für jede quadratische Matrix B ist B + B^t symmetrisch, A^tA ist für jede beliebige Matrix A symmetrisch. Die symmetrischen (n × n)-Matrizen repräsentieren gerade die symmetrischen Bilinearformen auf einem n-dimensionalen Vektorraum.

Jede symmetrische Matrix S ist zu einer DiagonalmatrixD = (d_ij) ähnlich, d. h., es existiert eine reguläre MatrixK mit \begin{eqnarray}D={K}^{t}SK.\end{eqnarray}

Speziell kann K so gewählt werden, daß gilt: \({d}_{11}= \ldots = {d}_{{r}_{1}{r}_{1}}=1\), \({d}_{{r}_{1}+1,{r}_{1}+1}=\cdots ={d}_{{r}_{2}{r}_{2}}=-1\), d_ii = 0 sonst; hierbei sind r₁ und r₂ eindeutig bestimmte natürliche Zahlen.

Das charakteristische Polynom einer symmetrischen Matrix A hat nur reelle Nullstellen, A also nur reelle Eigenwerte, Eigenvektoren von A zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal zueinander. Durch endlich viele orthogonale Ähnlichkeitstransformationen läßt sich eine symmetrische Matrix stets in eine Tridiagonalmatrix überführen.

Ein Endomorphismusf : V → V auf einem endlichdimensionalen euklidischen Vektorraum (V, ⟨·, ·⟩) ist genau dann symmetrisch (d. h. f ∗ existiert und f = f ∗), wenn f bezüglich einer Orthonormalbasis von V durch eine symmetrische Matrix repräsentiert wird.

Die Menge aller reellen symmetrischen (n × n)-Matrizen bildet einen Unterraum der Dimension \(\frac{1}{2}n(n+1)\) des Vektorraumes aller reellen (n × n)-Matrizen.