Gegenstand der Betrachtung der symplektischen Geometrie sind die symplektischen Mannigfaltigkeiten, die man – stark vereinfacht gesagt – als Riemannsche Mannigfaltigkeiten ansehen kann, deren “Skalarprodukt antisymmetrisch statt symmetrisch” ist.

1. Die historischen Wurzeln symplektischer Betrachtungen liegen einmal in der Optik, vor allem in ihrer Formulierung durch Hamilton im 19. Jahrhundert, und außerdem in der klassischen Mechanik, ebenfalls in der Hamiltonschen Formulierung.

In der linearen Strahlenoptik wird die optische Abbildung eines Objektes durch ein entlang der z-Achse aufgestelltes optisches System von Zwischenräumen und brechenden Oberflächen wie Linsen in linearer Näherung beschrieben. Hierbei bekommt man eine lineare Abbildung Φ des vierdimensionalen Raumes, wobei die ersten beiden Koordinaten den Auftreffpunkt q = (q₁, q₂) eines Lichtstrahls auf dem senkrecht zur optischen Achse stehenden Bildschirm angeben, während die letzten beiden die mit dem Brechungsindex multiplizierte Projektion p = (p₁, p₂) des Strahleneinheitsvektors auf den Bildschirm beschreiben. Ein Zwischenraum verändert p nicht, sondern verschiebt q um den Vektor lp (wobei die reelle Zahl l proportional zur Länge des Zwischenraums ist), während eine brechende Oberfläche, die durch eine symmetrische (2 × 2)-Matrix K in der Form \(z=\frac{1}{2}{q}^{T}Kq\) beschrieben wird, den Ort q des Strahls unverändert läßt, aber die Richtung p um einen Vektor −Pq verschiebt, wobei die (2 × 2)-Matrix P proportional zu K ist. Dies entspricht den beiden folgenden (4 × 4)-Matrizen, die wir als (2 × 2)-Blockmatrizen angeben: \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\left(\begin{array}{cc}{1}_{2} & l{1}_{2}\\ {0}_{2} & {1}_{2}\end{array}\right), & \left(\begin{array}{cc}{1}_{2} & {0}_{2}\\ -P & {1}_{2}\end{array}\right),\end{array}\end{eqnarray}

wobei 1₂ die (2 × 2)-Einheitsmatrix und 0₂ die (2 × 2)-Nullmatrix bezeichnen. Es läßt sich nun zeigen, daß durch beliebige Hintereinanderschaltung dieser Matrizen die Gruppe aller derjenigen Matrizen M erzeugt wird, die die 2-Form ω auf dem ℝ⁴, \begin{eqnarray}\omega ((q,p),({q}^{\prime},{p}^{\prime})):={q}_{1}{p}_{1}^{\prime}-{q}_{2}{p}_{2}^{\prime}-{q}_{2}^{\prime}{p}_{2}\end{eqnarray}

invariant lassen, d. h. \begin{eqnarray}\omega (M(q,p),M({q}^{\prime},{p}^{\prime}))=\omega ((q,p),({q}^{\prime},{p}^{\prime})).\end{eqnarray}

Die Determinante aller Matrizen in dieser sogenannten linearen symplektischen Gruppe ist gleich 1, jedoch läßt sich nicht jede (4 × 4)-Matrix der Determinante 1 durch eine solche lineare symplektische Transformation darstellen.

In der klassischen Mechanik kann man die Newtonsche Bewegungsgleichung \begin{eqnarray}m\frac{{d}^{2}{q}_{i}}{d{t}^{2}}=-\frac{\partial V}{\partial {q}_{i}}(q)\end{eqnarray}

für eine Kurve t ↦ q(t) im ℝⁿ (wobei m eine positive reelle Zahl (die Masse) und V eine reellwertige C^∞-Funktion auf ℝⁿ (die potentielle Energie) darstellt) als Differentialgleichung erster Ordnung im ℝ²ⁿ umschreiben, indem man die Variablen p_i := dq_i/dt sowie die Hamilton-Funktion \(H(q,p):={\sum}_{i=1}^{n}\frac{{p_i}^{2}}{2m}+V(q)\) einführt (x := (q, p)): \begin{eqnarray}\begin{array}{lllllll}\displaystyle\frac{d{q}_{i}}{dt} & = & \displaystyle\frac{{p}_{i}}{m} & = & \displaystyle\frac{\partial H}{\partial {p}_{i}}(x) & =: & {X}_{{H}_{{q}_{i}}}(x)\\ \displaystyle\frac{dp_i}{dt} & = & -\displaystyle\frac{\partial V}{\partial {q}_{i}}(q) & = & -\displaystyle\frac{\partial H}{\partial {q}_{i}}(x) & =: & {X}_{{H}_{{p}_{i}}}(x)\end{array}\end{eqnarray}

Die charakteristische Vertauschung der Variablen q und p und das auftretende Vorzeichen bei den partiellen Ableitungen der Hamilton-Funktion H auf der rechten Seite der vorigen Gleichung, dem sogenannten Hamiltonschen Vektorfeld X_H (q, p), zeigt wiederum die Gegenwart der sogenannten symplektischen 2-Form im ℝ²ⁿ\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\omega \left((q,p),({q}^{\prime},{p}^{\prime})\right):=\displaystyle \sum _{i=1}^{n}({q}_{i}{p}_{i}^{\prime}-{q}_{i}^{\prime}{p}_{i})\end{array}\end{eqnarray}

durch die Vorschrift \begin{eqnarray}dH=\left(\frac{\partial H}{\partial {q}_{1}},\ldots,\frac{\partial H}{\partial {q}_{n}},\frac{\partial H}{\partial {p}_{1}},\ldots,\frac{\partial H}{\partial {p}_{n}}\right)=\omega ({X}_{H},\).\end{eqnarray}

2. Es bietet sich nun an, endlichdimensionale reelle Vektorräume V zu betrachten, auf denen ein ‚antisymmetrisches Skalarprodukt‘, genauer gesagt: eine nicht ausgeartete antisymmetrische Bilinearform, d. h. symplektische Form ω : V × V → ℝ gegeben ist, zu betrachten. Das Paar (V, ω) wird dann symplektischer Vektorraum genannt. In völliger Analogie zum Sylvesterschen Trägheitssatz für symmetrische Bilinearformen läßt sich immer eine Basis von V finden, in der ω die einfache Form (1) annimmt. Insbesondere ist jeder symplektische Vektorraum 2n-dimensional. Drückt man ω in der vereinfachenden Basis durch das Standardskalarprodukt \begin{eqnarray}\left((q,p),{q}^{\prime},{p}^{\prime}\right):=\displaystyle \sum _{i=1}^{n}({q}_{i}{q}_{i}^{\prime}+{p}_{i}{p}_{i}^{\prime})\end{eqnarray} im ℝ²ⁿ und eine lineare Abbildung J in der Form ω = (J,  ) aus, so erhält man J² = −1_2n. Diese Nähe zu komplexen Strukuren wird durch die Bezeichnung ‚symplektisch‘ betont, die von Hermann Weyl eingeführt wurde und eine griechische Form des Wortes ‚komplex‘ darstellt, die vom Verb ‚συµπλ&eacgr;κϵιν‘ = ‚zusammenflechten‘ herrührt.

In Analogie zu Vektorräumen mit einem Skalarprodukt kann man nun versuchen, in symplektischen Vektorräumen Geometrie zu treiben: hierbei gibt es allerdings wegen der Antisymmetrie der symplektischen Form kein Analogon zum Längenquadrat, da ω(x, x) stets verschwindet für alle Vektoren x ∈ V. Auf zweidimensionalen Unterräumen definiert die Einschränkung von ω aber einen im allgemeinen nicht verschwindenden Flächenbegriff; doch auch hier kann diese Einschränkung in Einzelfällen entarten. Diese mögliche Entartung auf Unterräumen liefert nun sehr wichtige Unterräume: wie im Falle eines Raumes mit Skalarprodukt kann zu jedem gegebenen Unterraum W völlig analog sein (Schief)Orthogonalraum W^ω definiert werden, und die Summe der Dimensionen von W und W^ω ist immer gleich der Dimension von V. Im Gegensatz zu Räumen mit Skalarprodukt können sich W und W^ω nichttrivial schneiden: die auftretenden Extremfälle sind a) W ⊂ W^ω (W ist isotrop), b) W ⊃ W^ω (W ist koisotrop) und c) W = W^ω (W ist Lagrangesch). Man sieht schnell, daß die Einschränkung der symplektischen Form auf einen koisotropen Unterraum W kanonisch zu einer symplektischen Form auf den Quotientenraum W /W^ω projiziert werden kann (Phasenraumreduktion). In der Physik bilden der Konfigurationsraum (der von den Koordinaten (q₁, …, q_n) aufgespannte Unterraum des oben behandelten ℝ²ⁿ) und der Impulsraum (der von den Koordinaten (p₁, …, p_n) aufgespannte Unterraum) wichtige Lagrangesche Unterräume des sogenannten Phasenraums V.

3. Wie bei Riemannschen Mannigfaltigkeiten, bei denen jeder Tangentialraum mit einem (positiv definiten) Skalarprodukt versehen sind, das glatt vom Fußpunkt abhängt, kann man auch Mannigfaltigkeiten M betrachten, bei denen jeder Tangentialraum eine symplektische 2-Form ω trägt, die glatt vom Fußpunkt abhängt. Vom Standpunkt der dynamischen Systeme aus lassen sich leicht die Eigenschaften einer symplektischen 2-Form verstehen: man definiert das Hamiltonsche Vektorfeld X_H einer reellwertigen C^∞-Funktion H auf M durch \begin{eqnarray}dH=:\omega ({X}_{H},\).\end{eqnarray}

Wenn dies immer ohne Verlust an Information möglich sein soll, so muß ω eine nicht ausgeartete Bilinearform in jedem Tangentialraum definieren, da genau diese zu einem Isomorphismus zwischen Kotangentialraum (dem Wertebereich von dH) und Tangentialraum (dem Wertebereich von X_H) führen. Ferner gilt für eine Integralkurve t ↦ x(t) von X_H nach Definition von X_H : \begin{eqnarray}\frac{d(H(x))}{dt}=dH(x)({X}_{n}(x))=\omega ({X}_{H}(x),{X}_{H}(x))\end{eqnarray}

Damit ist H eine erhaltene Größe für X_H genau dann, wenn ω antisymmetrisch ist. Drittens ergibt sich für die sich anbietende Definition der Poisson-Klammer zweier reellwertiger C^∞-Funktionen f und g, \begin{eqnarray}\{f,g\}:=\omega ({X}_{f},{X}_{g}),\end{eqnarray} die Identität \begin{eqnarray}\begin{array}{l}\{\{f,g\},h\} + \{\{g,h\},f\}+\{\{h,f\},g\}\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,= \,\, -(d\omega)({X}_{f},{X}_{g},{X}_{h}),\end{array}\end{eqnarray}

die dazu führt, daß die Poisson-Klammer genau dann eine Lie-Klammer definiert, wenn ω eine geschlossene 2-Form ist.

Man nennt das Paar (M, ω) eine symplektische Mannigfaltigkeit, wenn ω eine nicht ausgeartete, antisymmetrische, geschlossene 2-Form ist. Die einfachsten Beispiele dieser Mannigfaltigkeiten werden – ganz analog zu den Phasenräumen der klassischen Mechanik – durch Kotangentialbündel T^∗Q beliebiger Mannigfaltigkeiten Q definiert: hier ist die lokale 1-Form \(\vartheta :=\displaystyle {\sum}_{i=1}^{n}{p}_{i}d{q}_{i}\) in einer Bündelkarte (q₁, …, q_n, p₁, …, p_n) invariant unter Kartenwechseln und definiert durch ω = −dϑ eine symplektische 2-Form auf T^∗Q. Viele wichtige dynamische Systeme wie etwa alle geodätischen Flüsse einer Riemannschen Mannigfaltigkeit Q oder die durch Poincaré, Siegel, Kolmogorow, Arnold und Moser untersuchten Systeme der Himmelsmechanik lassen sich hier formulieren. Eine weitere Beispielklasse, die auch kompakte Exemplare enthält, ist durch die Klasse aller koadjungierten Bahnen beliebiger Lie-Gruppen gegeben: diese symplektischen Mannigfaltigkeiten, zu denen z. B. die 2-Sphäre und allgemeiner der (komplex) n-dimensionale komplexe projektive Raum gehört, bilden nach Kirillow einen sehr wichtiges Bestandteil der Darstellungstheorie von Lie-Gruppen. Eine dritte Klasse besteht aus den Kählerschen Mannigfaltigkeiten, die eine Riemannsche, eine komplexe und eine symplektische Struktur tragen, die alle in geeigneter Weise miteinander verträglich sind. Insbesondere ist jede komplexe Untermannigfaltigkeit des komplex projektiven Raumes eine Kählersche Mannigfaltigkeit und damit symplektisch.

Im Gegensatz zu den Riemannschen Mannigfaltigkeiten sehen alle symplektischen Mannigfaltigkeiten gleicher Dimension 2n lokal gleich aus, da nach dem Satz von Darboux sich um jeden Punkt immer Koordinaten (q₁, …, q_n, p₁, …, p_n) finden lassen, in denen ω die zu (1) analoge Form \({\sum}_{i=1}^{n}d{q}_{i}\wedge d{p}_{i}\) annimmt. Ein Analogon zur äußeren Krümmung einer Untermannigfaltigkeit einer Riemannschen Mannigfaltigkeit existiert hier ebenfalls nicht, da nach einem Satz von A.B. Givental lokal die Geometrie einer Umgebung einer Untermannigfaltigkeit C lediglich von der Einschränkung der symplektischen Form auf das Tangentialbündel von C abhängt. Topologisch gesehen unterliegen kompakte symplektische Mannigfaltigkeiten wiederum starken Einschränkungen gegenüber den Riemannschen: die de Rhamschen Kohomologieklassen der äußeren Potenzen ω, …, ω^∧n der symplektischen Form sind alle verschieden von 0. So trägt z. B. von allen Sphären gerader Dimension einzig und allein die 2-Sphäre eine symplektische Struktur.

Analog zu den isotropen, koisotropen und Lagrangeschen Unterräumen von symplektischen Vektorräumen kann man isotrope, koisotrope und Lagrangesche Untermannigfaltigkeiten symplektischer Mannigfaltigkeiten betrachten, die durch die entsprechenden Eigenschaften ihrer Tangentialräume definiert werden. Jede koisotrope Untermannigfaltigkeit trägt eine Blätterung, die durch das stets integrable Unterbündel der Schieforthogonalräume aller Tangentialräume definiert ist. Wenn der Quotientenraum die Struktur einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit trägt und die kanonische Projektion eine surjektive Submersion ist, so ist der Quotientenraum automatisch mit einer kanonischen symplektischen Struktur ausgestattet. Durch diese sogenannte Phasenraumreduktion, die wiederum kein direktes Analogon in der Riemannschen Geometrie hat, lassen sich – ausgehend von einfach strukturierten, hochdimensionalen symplektischen Mannigfaltigkeiten – sehr komplizierte symplektische Mannigfaltigkeiten konstruieren. Lagrangesche Untermannigfaltigkeiten spielen eine sehr wichtige Rolle als verallgemeinerte Lösungen z. B. der Hamilton-Jacobi-Gleichung in der quasiklassischen Asymptotik.

Die Tatsache, daß der Raum der reellwertigen glatten Funktionen auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit M, C^∞ (M), durch die Poisson-Klammer die Struktur einer Lie-Algebra hat, ermöglicht es, Symmetrien von Hamiltonschen dynamischen Systemen direkt auf dem Niveau der Funktionen durch Homomorphismen einer endlichdimensionalen reellen Lie-Algebra in C^∞ (M) (sog. (verallgemeinerte) Impulsabbildungen) zu formulieren. Im Extremfall kann ein Hamiltonschens System eine abelsche Lie-Algebra von dim M/2 funktional unabhängigen Funktionen als Symmetriealgebra haben: diese sogenannten vollständigen integrablen Systeme (nach Liouville) spielen eine sehr wichtige Rolle als Ausgangspunkte für Näherungen oder Störungsentwicklungen in der Himmelsmechanik und besitzen im kompakten Fall topologisch stark eingeschränkte gemeinsame Niveauflächen, sog. invariante Tori.

4. Symplektische Mannigfaltigkeiten erlauben zwar torsionsfreie kovariante Ableitungen (z. B. nach der Formel von Heß-Lichnerowicz-Tondeur), unter deren Parallelverschiebungen die symplektische Form invariant bleibt, im Gegensatz zum Levi-Civita-Zusammenhang der Riemannschen Geometrie sind diese jedoch nicht eindeutig. Damit zusammenhängend ist die Tatsache, daß die Symplektomorphismengruppe, d. h. die Untergruppe aller Diffeomorphismen, die die symplektische 2-Form invariant lassen, im Gegensatz zum Riemannschen Fall nicht endlichdimensional ist. Dies läßt sich auch schon daran erkennen, daß die Flüsse jedes vollständigen Hamiltonschen Vektorfeldes aus Symplektomorphismen bestehen. Umso erstaunlicher ist die Tatsache, daß die Symplektomorphismengruppe trotzdem wesentlich ‚starrer‘ ist als etwa die größere Gruppe derjenigen Diffeomorphismen, die die Volumenform Ω = ω^∧n invariant lassen: Nach dem Gromovschen Quetschungssatz läßt sich eine offene Kugel vom Radius r im symplektischen ℝ²ⁿ in einen Zylinder \begin{eqnarray}\{(q,p)\in {{\mathbb{R}}}^{2n}|{q}_{1}^{2}+{p}_{1}^{2}\lt {R}^{2}\}\end{eqnarray}

genau dann symplektisch einbetten, wenn r ≤ R ist, was ab n = 2 bemerkenswert ist, da es anschaulich gesehen klar ist, daß man mit volumenerhaltenden Diffeomorphismen eine offene Kugel immer zu einer ‚langen, aber extrem dünnen Zigarre‘ verformen kann, die dann in den Zylinder ‚hineinpaßt‘. Ausgehend von Gromovs Ergebnis wurden später von Ekeland, Hofer und Zehnder die sogenannten symplektischen Kapazitäten konstruiert, die wichtige symplektische Invarianten bilden. Diese beiden Resultate bilden fundamentale Bestandteile des Gebiets der symplektischen Topologie, auf dem zur Zeit sehr aktiv geforscht wird.

5. Die symplektische Geometrie bietet nicht nur einen gut angepaßten Rahmen für die Behandlung von physikalisch wichtigen dynamischen Systemen, sondern findet darüber hinaus auch Anwendung für eine Formulierung quantenmechanischer Systeme:

In der auf Kostant und Souriau zurückgehenden geometrischen Quantisierung stellt man eine Unter-Lie-Algebra von C^∞ (M), die sogenannten ‚guten Observablen‘, als Differentialoperatoren im Raum bestimmter glatter Schnitte eines über der symplektischen Mannigfaltigkeit M konstruierten komplexen Geradenbündels, der dem physikalischen Hilbert-Raum entspricht, dar. Dies wurde unter anderem für die Darstellungstheorie von Lie-Gruppen benutzt.

Bei der von Flato, Lichnerowicz und Sternheimer begründeten Deformationsquantisierung hingegen will man eine ‚Quantenmultiplikation‘ auf ganz C^∞ (M)dadurch erreichen, daß man die punktweise Multiplikation der Funktionen durch parameterabhängige Addition von Bidifferentialoperatoren formal assoziativ so deformiert, daß der Kommutator der deformierten Multiplikation in erster Ordnung proportional zur Poisson-Klammer wird. Dies ist auf symplektischen Mannigfaltigkeiten immer möglich (de Wilde-Lecomte, 1983). Ein extrem nichttriviales Resultat von M. Kontsevitch (1997) zeigt, daß dies auch im allgemeineren Rahmen der Poisson-Mannigfaltigkeiten immer geht: bei diesen Mannigfaltigkeiten stellt man das Poisson-Bivektorfeld (das im symplektischen Fall durch das ‚Inverse‘ der symplektischen Form gegeben ist) in den Vordergrund, so daß weiterhin von Hamiltonschen Vektorfeldern, Erhaltungssätzen und Jacobi-Identität für Poisson-Klammern gesprochen werden kann, man erlaubt allerdings, daß die oben erwähnte Abbildung von den Kotangentialräume in die Tangentialräume nicht mehr bijektiv zu sein braucht. Kontsevitchs Resultat hat in jüngerer Zeit ein größere Forschungsaktivität vor allen Dingen auf den eher algebraischen Gebieten der Operaden und Gerstenhaber-Algebren ausgelöst.

Literatur

[1] Abraham, R.; Marsden, J.E.: Foundations of Mechanics, 2nd ed.. Benjamin/Cummings Reading, MA, 1985.

[2] Arnold, V.I.: Mathematische Methoden der Klassischen Mechanik. Erweiterte deutschsprachige Ausgabe, Birkhäuser Basel, 1988.

[3] Berndt, R.: Einführung in die symplektische Geometrie. Vieweg Wiesbaden, 1998.

[4] Fedosov, B.: Deformation Quantization and Index Theory. Akademie Verlag Berlin, 1996.

[5] Guillemin, V.; Sternberg, S.: Symplectic techniques in physics. Cambridge University Press Cambridge, 1984.

[6] Hofer, H.; Zehnder, E.: Symplectic Invariants and Hamiltonian Dynamics. Birkhäuser Basel, 1994.

[7] Libermann, P.; Marle, C.-M.: Symplectic Geometry and Analytic Mechanics. D.Reidel Dordrecht, 1987.

[8] Römer, H.: Theoretische Optik. VCH Weinheim, 1994.