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Lexikon der Mathematik: symplektische Kapazität

von I. Ekeland, H. Hofer und E. Zehnder geprägte symplektische Invariante, die jeder symplektischen Mannigfaltigkeit (M, ω) fester Dimension 2n eine nichtnegative reelle Zahl oder ∞, nämlich c(M, ω), zuordnet, die folgenden Axiomen genügen muß:

  • Falls es eine symplektische Einbettung (M, ω) → (N, τ) gibt, dann gelte c(M, ω) ≤ c(N, τ) (Monotonie),
  • c(M, αω) = |α|c(M, ω)für alle α ∈ ℝ \ {0} (Konformalität), und
  • c(B(1), ω0) = π = c(Z(1), ω0), wobei B(1) die offene Einheitskugel im ℝ2n mit der Standardform \begin{eqnarray}{\omega}_{0}=\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d{q}_{i}\wedge d{p}_{i},\end{eqnarray} und Z(1) den offenen Einheitszylinder \begin{eqnarray}\{(q,p)\in {{\mathbb{R}}}^{2n}|{q}_{1}^{2}+{p}_{1}^{2}\lt 1\}\end{eqnarray} bezeichnet (Nichttrivialität).

    Es gibt durchaus mehrere verschiedene symplektische Kapazitäten, deren Existenz in manchen Fällen durch Variationsprinzipien bewiesen wird. Sie stellen wichtige Hilfmittel der symplektischen Topologie dar. Der Quetschungssatz von Gromov ist zum Beispiel eine einfache Konsequenz aus der Existenz einer symplektischen Kapazität.

    • Copyright Springer Verlag GmbH Deutschland 2017
    • Die Autoren
    - Prof. Dr. Guido Walz

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