besagt, daß jeder endlich erzeugte graduierte ModulM über dem Polynomring in n Veränderlichen K[x₁, …, x_n ] über dem Körper K eine freie Auflösung der Länge ≤ n hat:

Es gibt eine exakte Folge \(0\to {F}_{m}\mathop{\to}\limits^{{\alpha}_{m}}{F}_{m-1}\mathop{\to}\limits^{{\alpha}_{m-1}}\cdots \mathop{\to}\limits^{{\alpha}_{1}}{F}_{0}\mathop{\to}\limits^{{\alpha}_{0}}M\to 0\)d. h., Kern(α_i) = Bild(α_i+1) für alle i, mit endlich erzeugten freien Moduln F_i und m ≤ n.

Dieses Resultat gilt auch für nicht graduierte Moduln. In Analogie gilt für endlich erzeugte Moduln über regulären lokalen Ringen, daß die projektive Dimension endlich und kleiner oder gleich der Dimension des Rings ist.

Wenn der Ring nicht regulär ist, muß es keine endlichen freien Auflösungen geben, so existiert zum Beispiel für \begin{eqnarray}R=K[[x,y]]/{y}^{2}-{x}^{3}\end{eqnarray}

und M = (x, y) keine endliche freie Auflösung.