Begriff aus der Garbentheorie.

Sei X eine algebraische Varietät oder ein algebraisches Schema über einem Körper k, oder auch ein komplexer Raum (wobei dann k = ℂ ist). Eine k-Derivation auf einer offenen Menge U ⊂ X ist ein k-linearer Garbenhomomorphismus D : \({\mathcal{O}}\)_X |U → \({\mathcal{O}}\)_X |U, der die Leibnizregel \begin{eqnarray}D(fg)=fD(g)+gD(f)\end{eqnarray}

erfüllt. Die Derivationen bilden eine Garbe Θ_X = Θ_X|k von \({\mathcal{O}}\)_X-Moduln durch \begin{eqnarray}U\mapsto {\Theta}_{X}(U)= \text {Menge aller}\,{k-\text {Derivationen}},\,{{\mathcal{O}}}_{X}|U\to {{\mathcal{O}}}_{X}|U,\end{eqnarray} und diese Garbe heißt die Tangentialgarbe. Sie läßt sich auch beschreiben als \({\Theta}_{X}= {\mathcal H} o{m}_{{{\mathcal{O}}}_{X}}({\Omega}_{X|k}^{1},{{\mathcal{O}}}_{X})\). Das Bündel \begin{eqnarray}T(X)={\mathbb{V}}({\Omega}_{X|k}^{1})\to X\end{eqnarray}

(relatives Spektrum) heißt Tangentialbündel. Die Garbe der lokalen Schnitte von T(X) über X ist also die Tangentialgarbe Θ_X.

Die Fasern von T(X) → X sind die Tangentialräume. Wenn X in einem affinen Raum 𝔸ⁿ eingebettet ist, so liefert die Surjektion \begin{eqnarray}{\Omega}_{{{\mathbb{A}}}^{n}|k}^{1}|X\simeq {{\mathcal{O}}}_{X}^{n}\to {\Omega}_{X|k}^{1}\end{eqnarray}

eine Einbettung \begin{eqnarray}T(X)\subset {\mathbb{V}}({\Omega}_{{{\mathbb{A}}}^{n}|k}^{1}|{{\mathcal{O}}}_{X})\cong X\times {{\mathbb{A}}}^{n}\end{eqnarray}

(über X), in diesem Fall ist also der Tangentialraum T_x(X) als linearer Unterraum in 𝔸ⁿ eingebettet. Zu jeder abgeschlossenen Einbettung X ⊂ Yalgebraischer Schemata oder komplexer Räume (analytischer Raum) erhält man eine exakte Folge \begin{eqnarray}{{\mathcal{N}}}_{X|Y}^{*}\to {\Omega}_{Y|k}^{1}|X\to {\Omega}_{X|k}^{1}\to 0\end{eqnarray}

(Normalenbündel), und dementsprechend exakte Folgen \begin{eqnarray}0\to {\Theta}_{X}\to {\Theta}_{Y}|X-{{\mathcal{N}}}_{X|Y}\end{eqnarray}

(\({\mathcal{N}}\)_X|Y die Normalengarbe) bzw. \begin{eqnarray}0\to T(X)\to T(Y)|X\to {N}_{X|Y}.\end{eqnarray}

Wenn X und Y glatt sind, so ist \(\begin{eqnarray}{\Theta}_{Y}|X\to {{\mathcal{N}}}_{X/Y}\end{eqnarray}\) bzw. T(Y) | X → N_X|Y surjektiv.