ein zentraler Begriff in der Theorie der quasikonformen Abbildungen.

Zur genauen Definition seien H := {z ∈ ℂ : Im z > 0} die obere Halbebene und f eine quasikonforme Abbildung von H auf sich mit f(∞) = ∞. Dabei bedeutet f(∞) = ∞, daß zu jedem M > 0 ein r > 0 existiert derart, daß | f(z)| >M für alle z ∈ H mit |z| >r. Dann kann f in eindeutiger Weise zu einem Homöomorphismus \(\hat{f}\) von \(\bar{H}\) auf sich fortgesetzt werden.

Es sei \({\mathcal{F}}\) die Familie aller quasikonformen Abbildungen von H auf sich mit \(\hat{f}(0)=0\), \(\hat{f}(1)=1\) und \(\hat{f}(\infty)=\infty \). Zwei Abbildungen f, g ∈ \({\mathcal{F}}\) heißen äquivalent, falls \(\hat{f}(x)=\hat{g}(x)\) für alle x ∈ ℝ. Hierdurch wird eine Äquivalenzrelation auf \({\mathcal{F}}\) definiert, und die Menge aller Äquivalenzklassen heißt (universeller) Teichmüller-Raum. Er wird üblicherweise mit \({\mathcal{T}}\) bezeichnet. Für f ∈ \({\mathcal{F}}\) bezeichne wie üblich [f] ∈ \({\mathcal{T}}\) diejenige Äquivalenzklasse mit f ∈ [f].

Es gibt zwei weitere Modelle für \({\mathcal{T}}\). Dazu sei \({\mathcal{B}}\) die offene Einheitskugel in L^∞(H), d. h. \begin{eqnarray} {\mathcal B} :=\{\mu \in {L}^{\infty}(H):||\mu |{|}_{\infty}\lt 1\}.\end{eqnarray}

Ordnet man jedem f ∈ \({\mathcal{F}}\) die komplexe Dilatation µ_f ∈ L^∞(H) zu, so liefert dies eine bijektive Abbildung von \({\mathcal{F}}\) auf \({\mathcal{B}}\). Man erhält daher eine Äquivalenzrelation auf \({\mathcal{B}}\), indem man zwei Elemente µ₁, µ₂ ∈ \({\mathcal{B}}\) äquivalent nennt, falls die zugehörigen Funktionen f₁, f₂ ∈ \({\mathcal{F}}\) in obigem Sinne äquivalent sind. Die Menge dieser Äquivalenzklassen ist dann ein Modell für \({\mathcal{T}}\).

Ist f ∈ \({\mathcal{F}}\), so ist die Einschränkung \(h:=\hat{f}|{\mathbb{R}}\) von \(\hat{f}\) auf ℝ eine normalisierte quasisymmetrische Funktion. Sind f₁ und f₂ ∈ \({\mathcal{F}}\) äquivalent, so gilt h₁ = h₂. Bezeichnet man mit \({\mathcal{X}}\) die Menge aller normalisierten quasisymmetrischen Funktionen, so wird durch [f] ↦ h eine bijektive Abbildung ϕ von \({\mathcal{T}}\) auf \({\mathcal{X}}\) definiert. Also ist \({\mathcal{X}}\) das dritte Modell für \({\mathcal{T}}\).

Sind f, g ∈ \({\mathcal{F}}\), so auch f⁻¹ ∈ \({\mathcal{F}}\) und f ∘ g ∈ \({\mathcal{F}}\). Daher ist \({\mathcal{F}}\) bezüglich der Komposition von Abbildungen eine Gruppe. Definiert man auf \({\mathcal{T}}\) eine Verknüpfung durch \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}[f]\circ [g]:=[f\circ g], & [f],[g]\in {\mathcal{T}}\end{array},\end{eqnarray}

so wird \({\mathcal{T}}\) in natürlicher Weise zu einer Gruppe. Da \({\mathcal{X}}\) bezüglich der Komposition von Funktionen ebenfalls eine Gruppe ist, liefert ϕ einen Gruppenisomorphismus von \({\mathcal{T}}\) auf \({\mathcal{X}}\).

Zur Definition einer Metrik (Abstandsfunktion) auf \({\mathcal{T}}\) bezeichne K_f die maximale Dilatation einer Abbildung f ∈ \({\mathcal{F}}\). Setzt man für p, q ∈ \({\mathcal{T}}\)\begin{eqnarray}\tau (p,q):=\frac{1}{2}\inf \{\mathrm{log}{K}_{g\circ {f}^{-1}}:f\in p,g\in q\},\end{eqnarray}

so wird hierdurch eine Metrik τ auf \({\mathcal{T}}\) definiert, und damit ist (\({\mathcal{T}}\), τ) ein metrischer Raum. Man nennt τ auch Teichmüller-Abstand. Man kann zeigen, daß (\({\mathcal{T}}\), τ) sogar ein vollständiger metrischer Raum ist. Weiter ist (\({\mathcal{T}}\), τ) ein wegzusammenhängender Raum. Allerdings ist (\({\mathcal{T}}\), τ) keine topologische Gruppe.

Eine Anwendungsmöglichkeit des Teichmüller-Raums ist z. B. die Herleitung eines Schlichtheitskriteriums mit Hilfe der Schwarzschen Ableitung. Dazu sei G ⊂ ℂ ein einfach zusammenhängendes Gebiet, G ≠ ℂ, und λ_G die Dichtefunktion der hyperbolischen Metrik von G. Für eine holomorphe Funktionφ in G ist die hyperbolische Supremumsnorm definiert durch \begin{eqnarray}||\varphi |{|}_{G}:=\mathop{\sup}\limits_{z\in G}\frac{|\varphi (z)|}{{\lambda}_{G}^{2}(z)},\end{eqnarray}

wobei es vorkommen kann, daß ∥φ∥_G = ∞ ist. Bezeichnet S_G die Menge aller schlichten Funktionen in G und ist φ ∈ \({\mathcal{S}}\)_G, so ist die Schwarzsche Ableitung S_φ von φ holomorph in G, und es gilt ∥S_φ∥_G< ∞.

Weiter sei A(G) die Menge aller reellen Zahlen a ≥ 0 mit folgender Eigenschaft: Für jede holomorphe Funktion φ in G mit ∥S_φ∥_G ≤ a gilt φ ∈ \({\mathcal{S}}\)_G. Offensichtlich ist 0 ∈ A(G) und daher A(G) ≠ ∅. Die Zahl \begin{eqnarray}{\sigma}_{1}(G):=\sup A(G)\end{eqnarray}

heißt innerer Schlichtheitsradius von G. Aus der Theorie der quasikonformen Abbildungen ist bekannt, daß σ_I(G) > 0 genau dann gilt, wenn ∂G eine quasikonforme Kurve ist. Ist G eine Kreisscheibe oder Halbebene, so ist σ_I(G) = 2.

Mit Hilfe der Eigenschaften des Teichmüller-Raums ist es möglich, genauere Aussagen über σ_I(G) herzuleiten. Diese Methode wird im folgenden skizziert. Es sei H′ := {z ∈ ℂ : Im z< 0} die untere Halbebene und \({\mathcal{Q}}\) die Menge aller holomorphen Funktionen φ in H′ mit ∥φ∥_H′ < ∞. Man beachte, daß \begin{eqnarray}{\lambda}_{{H}^{\prime}}(z)=\frac{1}{2|\mathrm{Im}z|},\quad z\in {H}^{\prime}.\end{eqnarray}

Es ist \({\mathcal{Q}}\) ein Banachraum.

Nun wird ein Homöomorphismus von \({\mathcal{T}}\) auf eine Teilmenge von \({\mathcal{Q}}\) wie folgt konstruiert. Für µ ∈ \({\mathcal{B}}\) sei f^µ diejenige Funktion in \({\mathcal{F}}\), deren komplexe Dilatation gleich µ ist. Die Funktion µ wird in die gesamte Ebene ℂ zu einer Funktion \(\hat{\mu}\) fortgesetzt, indem man \(\hat{\mu}(z):=\mu (z)\) für z ∈ H und \(\hat{\mu}(z):=0\) für \(z\in \overline{{H}^{\prime}}\) definiert. Dann existiert genau eine quasikonforme Abbildung f_µ : ℂ → ℂ mit f_µ(0) = 0, f_µ(1) = 1 und f_µ(∞) = ∞. Die Einschränkung f_µ|H′ von f_µ auf H′ ist schlicht in H′. Bezeichnet s_µ die Schwarzsche Ableitung von f_µ|H′, so ist s_µ ∈ \({\mathcal{Q}}\). Dann wird durch \begin{eqnarray}[\mu ]\mapsto {s}_{\mu}\end{eqnarray}

eine Abbildung ϕ: \({\mathcal{T}}\) → \({\mathcal{Q}}\) definiert. Es stellt sich heraus, daß ϕ sogar ein Homöomorphismus von \({\mathcal{T}}\) auf \({\mathcal{T}}\) (1) := ϕ(\({\mathcal{T}}\)) ist. Setzt man \({\mathcal{U}}\) := {S_φ : φ ∈ S_H′}, so gilt \begin{eqnarray}{\mathcal{T}}(1)\subset {\mathcal{U}}\subset {\mathcal{Q}}.\end{eqnarray}

Man beachte, daß \({\mathcal{U}}\) eine abgeschlossene Teilmenge von \({\mathcal{Q}}\) ist. Weiter ist \({\mathcal{T}}\) (1) eine offene Teilmenge von \({\mathcal{Q}}\), und zwar stimmt \({\mathcal{T}}\) (1) mit der Menge der inneren Punkte von \({\mathcal{U}}\) überein, während der Abschluß von \({\mathcal{T}}\) (1) eine echte Teilmenge von \({\mathcal{U}}\) ist.

Für r > 0 sei \begin{eqnarray}{{\mathcal B}}_{r}:=\{\varphi \in {\mathcal{Q}}:||\varphi |{|}_{{H}^{\prime}}\lt r\}\end{eqnarray}

und \({\overline{{\mathcal B}}}_{r}\) der Abschluß von \({\mathcal{B}}\)_r in \({\mathcal{Q}}\). Dann gilt \begin{eqnarray}{{\mathcal B}}_{2}\subset {\mathcal{T}}(1)\subset {\mathcal{U}}\subset {\overline{{\mathcal B}}}_{6}.\end{eqnarray}

Nun setzt man \begin{eqnarray}\delta (G):=||{S}_{f}|{|}_{G}=||{S}_{f-1}|{|}_{{H}^{\prime}},\end{eqnarray}

wobei f eine konforme Abbildung von G auf H′ ist. Diese Zahl ist unabhängig von der speziellen Wahl von f. Es gilt δ(G) ≤ 6, und δ(G) = 0 genau dann, wenn G eine Kreisscheibe oder Halbebene ist, d. h. δ(G) „mißt“ sozusagen die „Abweichung“ von G von einer Kreisscheibe.

Ist δ(G) < 2, so ist ∂G eine quasikonforme Kurve. Aus der obigen Inklusion erhält man dann für den inneren Schlichtheitsradius von G die Abschätzung \begin{eqnarray}2\le \delta (G)+{\sigma}_{I}(G)\le 6.\end{eqnarray}

Genauer gilt sogar σ_I(G) ≤ 2, wobei σ_I(G) = 2 genau dann, wenn G eine Kreisscheibe oder Halbebene ist. Weiter ist σ_I(G) ∈ A(G) und daher σ_I(G) = max A(G).

Schließlich noch drei Beispiele:

(1) Für 0 < k< 2 sei G = W_k der Winkelraum \begin{eqnarray}{W}_{k}:=\{z\in {\mathbb{C}}:0\lt \arg z\lt k\pi \}.\end{eqnarray}

Dann gilt \begin{eqnarray}{\sigma}_{I}({W}_{k})=\left\{\begin{array}{cc}2{k}^{2} & \mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\quad 0\lt k\le 1,\\ 2k(2-k) & \mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\quad 1\lt k\lt 2.\end{array}\right.\end{eqnarray}

(2) Ist G ein Dreieck und α ∈ (0, π) der kleinste Winkel, so gilt \begin{eqnarray}{\sigma}_{I}(G)=2{\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)}^{2}.\end{eqnarray}

(3) Ist n ∈ ℕ, n ≥ 3 und G ein reguläres n-Eck, so gilt \begin{eqnarray}{\sigma}_{I}(G)=2{\left(\frac{n-2}{n}\right)}^{2}.\end{eqnarray}

Für einen differentialgeometrischen Zugang vgl. auch Teichmüller-Theorie.