Vervollständigung des algebraischen Tensorprodukts zweier Banachräume unter geeigneten Normen.

Auf dem Tensorprodukt X⊗Y der Banachräume X und Y kann man verschiedene Normen betrachten, von denen die wichtigsten die injektive Norm ∥.∥_ϵ und die projektive Norm ∥. ∥_π sind. (Diese sind allg. nicht äquivalent.)

Die injektive Norm ist definiert durch \begin{eqnarray}{\left\Vert \displaystyle \sum _{i=1}^{n}{x}_{i}\otimes {y}_{i}\right\Vert}_{\varepsilon}=\sup \left|\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{x}^{\prime}({x}_{i}){y}^{\prime}({y}_{i})\right|,\end{eqnarray}

wo das Supremum über alle Funktionale x′ ∈ X′, y′ ∈ Y′ mit ∥x′∥ ≤ 1, ∥y′∥ ≤ 1 zu nehmen ist, und die projektive Norm durch \begin{eqnarray}\Vert u\Vert_{\pi}=\inf \displaystyle \sum _{i=1}^{n}\Vert{x}_{i}\Vert\Vert{y}_{i}\Vert,\end{eqnarray}

wobei sich das Infimum über alle Darstellungen von u ∈ X ⊗ Y als \({\sum}_{i=1}^{n}{x}_{i}\otimes {y}_{i}\) erstreckt. Die so nor-i=1 mierten Räume sind i. allg. nicht vollständig; ihre Vervollständigungen werden mit \(X{\hat{\otimes}}_{\varepsilon}Y\) und \(X{\hat{\otimes}}_{\pi}Y\)Y bezeichnet. Diese Tensorprodukte besitzen die metrische Abbildungseigenschaft:

Sind S : X → W und T : Y → Z stetige lineare Operatoren, so ist der kanonische Operator \begin{eqnarray}S\otimes T:X{\hat{\otimes}}_{\alpha}Y\to W{\hat{\otimes}}_{\alpha}Z\end{eqnarray}

stetig mit \begin{eqnarray}\Vert S\otimes T\Vert\le \Vert S\Vert\ \Vert T\Vert;\end{eqnarray}

hier steht α für ϵ oder für π.

Für das projektive Tensorprodukt gilt folgende universelle Eigenschaft: Ist b : X × Y → Z eine stetige bilineare Abbildung, so existiert genau ein stetiger linearer Operator \(B:X{\hat{\otimes}}_{\pi}Y\to Z\) mit \begin{eqnarray}B(x\otimes y)=b(x,y)\end{eqnarray}

für alle x ∈ X, y ∈ Y ; B hat dieselbe Norm wie b. Es folgt, daß der Dualraum von \(X{\hat{\otimes}}_{\pi}Y\) mit dem Raum aller stetigen Bilinearformen auf X × Y identifiziert werden kann, der seinerseits zum Raum L(X, Y′) aller stetigen linearen Operatoren von X nach Y′ isometrisch isomorph ist.

Diverse Funktionen- und Operatorräume haben Darstellungen als Tensorprodukte; z. B. ist \begin{eqnarray}\begin{array}{rll}C(K,Y) & = & C(K){\hat{\otimes}}_{\varepsilon}Y,\\ {L}^{1}(\mu, Y) & = & {L}^{1}(\mu){\hat{\otimes}}_{\pi}Y,\\ K(X,Y) & = & {X}^{\prime}{\hat{\otimes}}_{\varepsilon}Y,\\ N(X,Y) & & {X}^{\prime}{\hat{\otimes}}_{\pi}Y,\end{array}\end{eqnarray}

(K(X, Y) bzw. N(X, Y) ist der Raum der kompakten bzw. nuklearen Operatoren von X nach Y), wobei für die letzten beiden Zeilen vorauszusetzen ist, daß Y die Approximationseigenschaft besitzt (Approximationseigenschaft eines Banachraums).

[1] Defant, A.; Floret, K.: Tensor Norms and Operator Ideals. North-Holland Amsterdam, 1993.