der zu gegebenen 𝕂- VektorräumenV₁,…,V_n bis auf Isomorphie stets eindeutig existierende 𝕂-Vektorraum \begin{eqnarray}{V}_{1}\otimes \cdots \otimes {V}_{n},\end{eqnarray}

zu dem eine universelle Abbildung \begin{eqnarray}f:{V}_{1}\times \cdots \times {V}_{n}\to {V}_{1}\otimes \cdots \otimes {V}_{n}\end{eqnarray}

mit folgenden beiden Eigenschaften existiert:

• f ist multilinear;
• für alle 𝕂-Vektorräume W und alle multilinearen Abbildungen g : V₁ × · · · × V_n → W gibt es genau eine lineare Abbildung \begin{eqnarray}h:{V}_{1}\otimes \cdots \otimes {V}_{n}\to W\end{eqnarray} so, daß gilt: \begin{eqnarray}g=h\circ f.\end{eqnarray}

V₁ ⊗ · · · ⊗ V_n heißt das Tensorprodukt von V₁,…,V_n, seine Elemente heißen Tensoren der Stufe n. Als Schreibweise für das Bild von \begin{eqnarray}({\upsilon}_{1},\ldots, {\upsilon}_{n})\in {V}_{1}\times \cdots \times {V}_{n}\end{eqnarray}

unter der (stets eindeutigen) universellen Abbildung f hat sich \begin{eqnarray}{\upsilon}_{1}\otimes \cdots \otimes {\upsilon}_{n}\end{eqnarray}

eingebürgert. Diese Elemente werden als Elementartensoren bezeichnet, und jeder Tensor ist eine Summe von Elementartensoren. Elemente aus dem Tensorprodukt \begin{eqnarray}\mathop{\underbrace{V\otimes \cdots \otimes V}}\limits_{p-\text{mal}}\otimes \mathop{\underbrace{V^* \otimes \cdots \otimes V^*}}\limits_{q-\text{mal}}\end{eqnarray}

(V^∗ Dualraum zum Vektorraum V) heißen p-fach kontravariante und q-fach kovariante Tensoren; im Falle p = 0 spricht man von (rein) kovarianten Tensoren, im Falle q = 0 von (rein) kontravarianten Tensoren, im Falle p, q ≠ 0 von gemischten Tensoren. Beispielsweise sind Vektoren aus V kontravariante Tensoren der Stufe 1 und Linearformen auf V sind kovariante Tensoren der Stufe 1. Die Bilinearformen auf V × V können als kovariante Tensoren der Stufe 2 aufgefaßt werden. Sind die Vektorräume V_i(1 ≤ i ≤ n) alle endlichdimensional, so ist die Dimension des zugehörigen Tensorproduktes das Produkt der Dimensionen der V_i : \begin{eqnarray}\dim ({V}_{1}\otimes \cdots \otimes {V}_{n})=\dim {V}_{1}\cdot \cdots \cdot \dim {V}_{n}.\end{eqnarray}

In diesem Fall ist V₁ ⊗ · · · ⊗ V_n also isomorph zu \({{\mathbb{K}}}^{\dim ({V}_{1}\otimes \cdots \otimes {V}_{n})}\).

Für zwei beliebige 𝕂-Vektorräume V₁ und V₂ ist ihr Tensorprodukt V₁ ⊗ V₂ gegeben durch den QuotientenvektorraumV/U, wobei V den 𝕂-Vektorraum \begin{eqnarray}\begin{array}{l}\mathop{\bigoplus}\limits_{({\upsilon}_{1},{\upsilon}_{2})\in {V}_{1}\times {V}_{2}}{\mathbb{K}}=\\ \{{({\alpha}_{i})}_{i\in {V}_{1}\times {V}_{2}}|{\alpha}_{i}\in {\mathbb{K}};\,{\alpha}_{i}=0\, \mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\,\text {fast alle}\ i\in {V}_{1}\times {V}_{2}\}\end{array}\end{eqnarray}

bezeichnet, und U ⊆ V den Unterraum, der aufgespannt wird von den Elementen der Form \begin{eqnarray}\begin{array}{l}[({\upsilon}_{1},{\upsilon}_{2})+({{\upsilon}^{\prime}_{1}},{\upsilon}_{2})]-[({\upsilon}_{1}+{{\upsilon}^{\prime}_{1}},{\upsilon}_{2})];\\ [({\upsilon}_{1},{\upsilon}_{2})+({\upsilon}_{1},{{\upsilon}^{\prime}_{2}})]-[({\upsilon}_{1},{\upsilon}_{2}+{{\upsilon}^{\prime}_{2}})];\\ [(\alpha {\upsilon}_{1},{\upsilon}_{2})]-\alpha [({\upsilon}_{1},{\upsilon}_{2})];\\ [({\upsilon}_{1},\alpha {\upsilon}_{2})]-\alpha [({\upsilon}_{1},{\upsilon}_{2})];\end{array}\end{eqnarray}

([(u, w)] bezeichnet dasjenige Element aus V mit einer Eins an der Stelle (u, w) und Nullen sonst). Die zugehörige universelle Abbildung ist dann gegeben durch \begin{eqnarray}({\upsilon}_{1},{\upsilon}_{1})\mapsto [{\upsilon}_{1},{\upsilon}_{2}]+U.\end{eqnarray}

Durch eine analoge Konstruktion gelangt man auch zum Tensorprodukt von mehr als zwei Vektorräumen V_i. Für zwei endlichdimensionale 𝕂-Vektorräume V₁ und V₂ gilt bis auf Isomorphie \begin{eqnarray}{V}_{1}^{*}\otimes {V}_{2}^{*}={({V}_{1}\otimes {V}_{2})}^{*},\end{eqnarray}

und für beliebige 𝕂-Vektorräume V₁, V₂ und V₃ gilt bis auf Isomorphie \begin{eqnarray}{V}_{1}\otimes ({V}_{1}\otimes {V}_{3})=({V}_{1}\otimes {V}_{2})\otimes {V}_{3}(={V}_{1}\otimes {V}_{2}\otimes {V}_{3});\end{eqnarray}

eine analoge Aussage gilt auch für endlich viele 𝕂-Vektorräume V₁,…,V_n. Es ist V₁ ⊗ · · · ⊗ V_n = {0}, wenn für mindestens ein i ∈ {1,…,n} gilt: V_i = {0}. Ist (v_i1,…,v_iπ(i)) eine Basis von V_i(i ∈ {1,…,n}), so bilden die Elemente \begin{eqnarray}{\upsilon}_{1\phi (1)}\otimes \cdots \otimes {\upsilon}_{n\phi (n)}\end{eqnarray}

mit 1 ≤ ϕ(j) ≤ π(j) (1 ≤ j ≤ n) eine Basis von V₁ ⊗· · ·⊗V_n. Stets wird das Tensorprodukt vom Bild der zugehörigen universellen Abbildung erzeugt.

Durch das Tensorprodukt wird die Betrachtung multilinearer Abbildungen auf lineare Abbildungen zurückgeführt, da die multilinearen Abbildungen auf V₁ × · · · × V_n umkehrbar eindeutig den linearen Abbildungen auf dem Tensorprodukt V₁ ⊗ · · · ⊗ V_n entsprechen.