Aussage über die Endlichkeit des Inhalts einer stetigen Funktion.

Es seien D₀ = [a, b] × [c, d] ⊆ ℝ² und f : D₀ → ℝ stetig. Dann gelten:

1. Die stetige Oberfläche z = f(x, y) hat genau dann einen endlichen Inhalt S(f, D₀), wenn f eine endliche (Tonelli-)Variation auf D₀hat.
2. Unter der Voraussetzung von (a) gilt mit\begin{eqnarray}L(f,{D}_{0})=\displaystyle \int \displaystyle \mathop{\int}\limits_{{D}_{0}}\sqrt{1+{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}^{2}+{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}^{2}}dx\ dy\end{eqnarray}die Ungleichung\begin{eqnarray}S(f,{D}_{0})\ge L(f,{D}_{0}),\end{eqnarray}wobei S(D) = S(f, D) für D = [α, β] × [γ, δ] ⊆ D₀eine stetige additive Funktion von Rechtecken D ⊆ D₀ist und für fast alle (x, y) ∈ D₀die Gleichung\begin{eqnarray}{S}^{\prime}(x,y)=\sqrt{1+{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}^{2}+{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}^{2}}\end{eqnarray}gilt.
3. Genau dann gilt S(f, D₀) = L(f, D₀), wenn f absolut stetig auf D₀ist. Das ist genau dann der Fall, wenn S(f, D) eine absolut stetige Funktion auf den Rechtecken D ⊆ D₀ist.