maßtheoretische Version des Transformationssatzes von Jacobi.

Es sei A eine offene Teilmenge von ℝ^d, φ : A → ℝ^dstetig differenzierbar, C ≔ {x ∈ A| Rang Dφ(x) < d} die Menge der kritischen Punkte von φ, und φ, eingeschränkt auf A \ C, injektiv.

Dann ist eine Funktion \(f:\phi (A)\to \bar{{\mathbb{R}}}\)genau dann \({\lambda}_{\phi (A)}^{d}\)-integrierbar, wennf ∘ φ| det Dφ| \({\lambda}_{A}^{d}\)-integrierbar ist, und es gilt\begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int}\limits_{\phi (A)}fd{\lambda}^{d}=\displaystyle \mathop{\int}\limits_{A}f\circ \phi |\det D\phi |d{\lambda}^{d}.\end{eqnarray}

Dabei ist λ^d das Lebesgue-Maß auf \({\mathcal{B}}({{\mathbb{R}}}^{d})\), \({\lambda}_{A}^{d}\) das Lebesgue-Maß auf A, und \({\lambda}_{\phi (A)}^{d}\) das Bildmaß von \({\lambda}_{A}^{d}\) bzgl. der Abbildung φ.