spezielle Bifurkation.

Es sei (μ, x) → Φ_μ(x) eine C^r-Abbildung (r ≥ 2) von J × W nach E, wobei W eine offene Teilmenge des Banachraumes E, μ ∈ J und J ⊂ ℝ sei. Sei (0, 0) ∈ J × W Fixpunkt von Φ_μ(x), also Φ_μ(0) = 0. Das Spektrum von D₀Φ₀ sei in {z : |z| < 1} enthalten, außer für einen einfachen Eigenwert α_μ, d. h. es ist \({D}_{x}^{2}{{\rm{\Phi}}}_{{\mu}_{0}}\ne 0\). Somit ist \({{\rm{\Phi}}}_{{\mu}_{0}}(0)\) tangential im Verzweigungspunkt. Da \(\frac{d}{d\mu}{{\rm{\Phi}}}_{{\mu}_{0}}(0)=0\), ist \(\frac{{d}^{2}{{\rm{\Phi}}}_{{\mu}_{0}}(0)}{d\mu dx}\ne 0\) und es kommt zu einem Stabilitätsaustausch im Verzweigungspunkt (x₀, μ₀) = (0, 0).

Die transkritische Bifurkation einer Abbildung hat die Kodimension 1. Die transkritische Bifurkation wird durch die Differentialgleichung \(\dot{x}=\mu x-{x}^{2}\) reprasentiert, deren Fixpunkte x₁ = 0 und x₂ = μ sind. Sie ist in die Normalform der Sattel-Knoten-Bifurkation überführbar. Die Bifurkation ist für x₁ stabil, wenn μ< 0, und instabil für μ > 0 (umgekehrt für x₂). Im Gegensatz zur Sattel-Knoten-Bifurkation exsitieren für die transkritische Bifurkation für alle Werte von μ Fixpunkte.

[1] Plaschko, P.; Brod, K.: Nichtlineare Dynamik, Bifurkationen und Chaotische Systeme. Vieweg, 1995.