spezielle Funktion einer oder mehrerer reeller Variabler, mit deren Hilfe man eine Basis des Raums der Splinefunktionen konstruieren kann.

Es seien x⁽¹⁾, …, x^(n+m) Punkte im ℝⁿ mit der Eigenschaft, daß jede n-elementige Teilmenge der zugehörigen Menge von Vektoren linear unabhängig ist. Weiter gelte, daß der Nullvektor nicht in der konvexen Hülle dieser Punkte, also der Menge \begin{eqnarray}\{\displaystyle \sum _{i=1}^{n+m}{\lambda}_{i}{x}^{(i)}:\displaystyle \sum _{i=1}^{n+m}{\lambda}_{i}=1,\ \ {\lambda}_{i}\ge 0,\ \ i=1,\ldots,n+m\},\end{eqnarray} enthalten sei. Dann heißt die reellwertige Funktion T_{(1, …, n+m)} in n Variablen, welche durch die Vorschrift \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{T}_{(1,\ldots,n+m)}(x)=vo{l}_{m}\{\lambda \in {{\mathbb{R}}}^{n+m}:{\lambda}_{i}\ge 0,\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \displaystyle \sum _{i=1}^{n+m}{\lambda}_{i}{x}^{(i)}=x\}\end{array}\end{eqnarray} festgelegt ist, (multivariate) truncated-power-Funktion.

Die Funktion T_{(1, …, n+m)} ist stückweise polynomial vom totalen Grad m und (m − 1)-fach differenzierbar, also eine Splinefunktion. Im Spezialfall einer Variablen, d. h. n = 1, gilt die einfache Darstellung \begin{eqnarray}{T}_{(1,\ldots,m+1)}(x)=\max {\{0,x\}}^{m},\ \ x\in {\mathbb{R}}.\end{eqnarray}

In diesem Fall bilden die Polynome vom Grad m gemeinsam mit den truncated-power-Funktionen T_{(1, …, m+1)}(x − x_k) eine Basis des Splineraums (mit einfachen Knoten x_k).

Für Splines in zwei Variablen hinsichtlich gleichmäßiger Partitionen benötigt man zur Konstruktion einer Basis zudem gewisse zusätzliche Basisfunktionen, die sogenannten Kegelsplines.

Multivariate truncated-power-Funktionen können nach dem folgenden Satz von W. Dahmen aus dem Jahr 1980 rekursiv berechnet werden:

Für alle\begin{eqnarray}x=\displaystyle \sum _{i=1}^{n+m}{\lambda}_{i}{x}^{(i)}\end{eqnarray}gilt:\begin{eqnarray}{T}_{(1,\ldots,n+m)}(x)=\frac{1}{m}\displaystyle \sum _{i=1}^{n+m}{\lambda}_{i}{T}_{(1,\ldots,i-1,i+1,\ldots,n+m)}(x).\end{eqnarray}

[1] Nürnberger, G.: Approximation by Spline Functions. Springer-Verlag Heidelberg/Berlin, 1989.