Lexikon der Mathematik: Tschebyschew-Splines
verallgemeinerte Splinefunktionen, welche stückweise von erweiterten vollständigen Tschebyschew-Systemen aufgespannt werden.
Es seien Δ = {a = x0< x1< … < xk< xk+1} eine Knotenmenge, m eine natürliche Zahl, M = (m1,, …, mk) ein Vektor natürlicher Zahlen mit 1 ≤ mi ≤ m, und der Raum \({{\mathcal{P}}}_{m}\) aufgespannt von einem m-dimensionalen erweiterten vollständigen Tschebyschew-System.
Dann heißt
Raum der Tschebyschew-Splines mit Knoten x1, …, xk der jeweiligen Vielfachheiten m1, …, mk.
Tschebyschew-Splines bilden somit eine natürliche Verallgemeinerung der polynomialen Splines, denn Polynome (das heißt \({{\mathcal{P}}}_{m}=\text{span}\{{x}^{l}:l=0,\ldots,m-1\}\)) bilden ein erweitertes vollständiges Tschebyschew-System. Ein weiteres Beispiel für Tschebyschew-Splines sind exponentiellen Splines (Exponentialsplines). Diese erhält man durch Verwendung des erweiterten vollständigen Tschebyschew-Systems
Die Theorie der Tschebyschew-Splines wurde in wesentlichen Grundzügen analog der Theorie der polynomialen Splines entwickelt. So lassen sich für Tschebyschew-Splines B-Splines konstruieren, es gelten Sätze hinsichtlich der variationsvermindernden Eigenschaft von Tschebyschew-Splines, und hinsichtlich der Anzahl von Nullstellen von Tschebyschew-Splines gelten ähnliche Resultate wie in der Theorie polynomialer Splines.
Hieraus lassen sich Charakterisierungen vom Schoenberg-Whitney-Typ für Interpolation mit Tschebyschew-Splines ableiten. Darüber hinaus existieren ähnliche Aussagen hinsichtlich der Approximationsgüte von Tschebyschew-Splines wie in der Theorie polynomialer Splines.
[1] Schumaker, L.L.: Spline Functions: Basic Theory. John Wiley and Sons, 1981.
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