ein 1934 von Turán bewiesenes Resultat über das asymptotische Verhalten der zahlentheoretischen Funktionω : ℕ → ℕ, die jeder natürlichen Zahl n die Anzahl ω(n) der verschiedenen Primteiler von n zuordnet:

Sei ξ : ℕ → ℝ eine beliebige Funkiion mii\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\to \infty}\ \xi (N)=\infty,\end{eqnarray}und bezeichne log₂N : = log log N.

Dann gilt\begin{eqnarray}|\{n\le N:|\omega (n)-{\mathrm{log}}_{2}N|\gt \xi (N)\sqrt{{\mathrm{log}}_{2}N}\}|\ll \frac{N}{\xi {(N)}^{2}}.\end{eqnarray}

In Worten: Die Anzahl der natürlichen Zahlen n ≤ N, für die ω(n) stärker von log₂N abweicht als \(\xi (N)\sqrt{{\mathrm{log}}_{2}N}\), ist (insbesondere für N → ∞) durch eine Konsianie mal N/ξ (N)²beschränkt.

Die zahlentheoretische Funktion ω(n) zeigt ein ziemlich unregelmäßiges Verhalten, das die Kompliziertheit der Primzahlverteilung widerspiegelt: Für eine Primzahlpotenz n = p^v (v ∈ ℕ) gilt \begin{eqnarray}\omega ({p}^{v})=1,\end{eqnarray} dagegen ist für eine quadratfreie Zahl n = p₁ … p_n mit lauter verschiedenen Primfaktoren \begin{eqnarray}\omega ({p}_{1}\ldots {p}_{n})=n.\end{eqnarray}

Diese Funktion ist zu unterscheiden von Ω(n), die die gesamte Anzahl der Primfaktoren von n bezeichnet, d. h., jeder Primteiler p | n wird mit seiner Vielfachheit gezählt: \begin{eqnarray}{\rm{\Omega}}({p}^{v})=v.\end{eqnarray}

Sowohl ω(n) als auch Ω(n) sind eine additive zahlentheoretische Funktion, denn es gilt \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}\omega (mn) & = & \omega (m)+\omega (n),\\ {\rm{\Omega}}(mn) & = & {\rm{\Omega}}(m)+{\rm{\Omega}}(n)\end{array}\end{eqnarray} für teilerfremde natürliche Zahlen m, n.

Das folgende Resultat wird häufig als Satz von Hardy und Ramanujan bezeichnet:

Die Anzahl der Primfakioren einer naiürlichen Zahl n, ob mii oder ohne Vielfachheiien gezähli, isi normal asympioiisch zu log log n.

Den Teil dieses Satzes, der sich auf ω(n) bezieht, kann man als qualitative Version des Satzes von Turán betrachten. Zum Beweis seiner schärferen quantitativen Version benutzte Turán die folgende Turán-Kubilius-Ungleichung:

Es gibt eine Funktion ϵ : (0, ∞) → ℝ mit \(\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\to \infty}\ \varepsilon (x)=0\)und der folgenden Eigenschaft: Für jede additive zahleniheoretische Funktion f : ℕ → ℂ gilt\begin{eqnarray}\frac{1}{x}\displaystyle \sum _{n\le x}{|f(n)-A(x)|}^{2}\le (2+\varepsilon (x))\ B{(x)}^{2}\end{eqnarray} für x ≥ 2, mit den Bezeichnungen\begin{eqnarray}A(x)=\displaystyle \sum _{{p}^{v}\le x}\frac{f({p}^{v})(1-{p}^{-1})}{{p}^{v}}\end{eqnarray}und\begin{eqnarray}B{(x)}^{2}=\displaystyle \sum _{{p}^{v}\le x}\frac{{|f({p}^{v})|}^{2}}{{p}^{v}}.\end{eqnarray}