Verallgemeinerung des Lebesgue-Integrals bzgl. des Maßraumes durch Young und Frechet.

Es sei \(({\rm{\Omega }},{\mathcal{A}},\mu )\) ein Maßraum und \(f:{\rm{\Omega }}\to \bar{{\mathbb{R}}}\) eine meßbare Funktion. Unter der Annahme, daß f nicht-negativ ist, existiert eine isotone Folge (u_n|n ∈ ℕ) von Elementarfunktionen

\begin{eqnarray}{u}_{n}:=\displaystyle \sum _{i=1}^{n{2}^{n}}{a}_{i}^{n}{1}_{{A}_{i}^{n}}\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\displaystyle \int fd\mu :=\mathop{\sup }\limits_{n\in {\mathbb{N}}}\displaystyle \int {u}_{n}d\mu :=\mathop{\sup }\limits_{n\in {\mathbb{N}}}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{a}_{i}^{n}\mu ({A}_{i}^{n}),\end{eqnarray}

Ist f allgemein meßbar, so existiert eine Zerlegung f = f⁺ − f⁻ von f in die Differenz zweier nicht-negativer meßbarer Funktionen f⁺ und f⁻, und man definiert das μ-Integral von f durch

\begin{eqnarray}\displaystyle \int fd\mu =\displaystyle \int {f}^{+}d\mu -\displaystyle \int {f}^{-}d\mu ,\end{eqnarray}