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Lexikon der Mathematik: überbestimmtes System

ein lineares Gleichungssytem Ax = b mit A ∈ ℝm×n, b ∈ ℝm und m >n, bei dem also mehr Gleichungen als Unbekannte gegeben sind.

Typischerweise hat ein überbestimmtes System keine exakte Lösung x ∈ ℝn, es sei denn b ∈ Im(A). Man betrachtet dann häufig das Ersatzproblem \begin{eqnarray}\mathop{\min}\limits_{x\in {{\mathbb{R}}}^{n}}{\Vert Ax-b\Vert}_{2},\end{eqnarray} d. h., man sucht einen Vektor x, der den Fehler ∥Axb2 so klein wie möglich macht. Dieses Ersatzproblem wird lineares Ausgleichsproblem genannt, siehe hierzu Ausgleichsrechnung. Eine Lösung berechnet man z. B. mittels der Methode der kleinsten Quadrate.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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