eine Potenzreihe \(\displaystyle {\sum}_{k=0}^{\infty}{a}_{k}{z}^{k}\) mit endlichem KonvergenzradiusR > 0, die folgende Eigenschaft besitzt: Bezeichnet für n ∈ ℕ₀\begin{eqnarray}{s}_{n}(z):=\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{a}_{k}{z}^{k}\end{eqnarray} die n-te Teilsumme, so existiert eine Teilfolge \(({s}_{{n}_{m}})\) von (s_n), die in einem GebietG ⊂ ℂ, das den KonvergenzkreisB_R(0) echt umfaßt, kompakt konvergent ist.

Dieses Phänomen nennt man Überkonvergenz. Aus dem Überkonvergenzsatz von Ostrowski (Ostrowski, Überkonvergenzsatz von) folgt, daß manche Ostrowski-Reihen überkonvergente Potenzreihen sind.

Weitere überkonvergente Potenzreihen wurden von Porter konstruiert. Dazu sei q ein Polynom vom Grad d mit q(0) = 0 und q(z₀) = 0 für ein z₀ ∈ ℂ \ {0}. Weiter sei \begin{eqnarray}f(z)=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty}{a}_{k}{z}^{{m}_{k}}\end{eqnarray} eine Lückenreihe mit m_k+1 >dm_k und Konvergenzradius R ∈ (0, ∞). Schließlich sei g(z) ≔ f(q(z)), V ≔{z ∈ ℂ : |q(z)| < R}, und r die größte positive Zahl mit B_r(0) ⊂ V. Man beachte, daß V eine offene Menge ist und 0 ∈ V. Dann ist g eine holomorphe Funktion in V, und die Taylor-Reihe\begin{eqnarray}g(z)=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty}{b}_{k}{z}^{k}\end{eqnarray} von g um 0 ist eine überkonvergente Potenzreihe. Sie hat den Konvergenzradius r, und die Teilfolge \(({s}_{d{m}_{k}})\) von (s_n) ist kompakt konvergent in V. Die Zusammenhangskomponente V₀ von V mit 0 ∈ V₀ umfaßt B_r (0) echt und ist das Holomorphiegebiet von g|V₀.

Wählt man z.B. q(z) = z(1 − z), so ist V ein Cassini-Bereich, V = V₀ für \(R\gt \frac{1}{4}\), und \begin{eqnarray}r=\frac{1}{2}(\sqrt{1+4R}-1)\lt R.\end{eqnarray}