fundamentaler Begriff in der Funktionentheorie, insbesondere für die analytische Fortsetzung von Funktionskeimen.

Im folgenden seien X und Y stets topologische Räume. Eine Abbildung p : Y → X heißt Überlagerung(sabbildung), wenn sie stetig, offen und diskret ist. Ist y ∈ Y und x ≔ p(y), so sagt man, der Punkt y liegt über x, und der Punkt x ist der Grundpunkt oder Spurpunkt von y.

Sind p : Y → X und q : Z → X zwei Überlagerungen von X, so nennt man eine Abbildung f : Y → Z spurtreu, wenn p = q ○ f ist.

Ein Punkt y ∈ Y heißt Verzweigungspunkt einer Überlagerung p : Y → X, wenn es keine Umgebung V von y gibt, so daß p | V injektiv ist. Die Abbildung p heißt unverzweigt, falls sie keine Verzweigungspunkte besitzt. Es gilt:

Eine Abbildung p : Y → X ist genau dann eine unverzweigte Überlagerung, wenn p lokaltopologisch ist, d. h., wenn jeder Punkt y ∈ Y eine offene Umgebung V besitzt, die durch p homöomorph auf eine offene Teilmenge U von X abgebildet wird.

Eine Abbildung p : Y → X heißt unbegrenzte unverzweigte Überlagerung, wenn gilt: Jeder Punkt x ∈ X besitzt eine offene Umgebung U so, daß sich das Urbild p⁻¹(U) darstellen läßt als \begin{eqnarray}{p}^{-1}(U)=\displaystyle \mathop{\bigcup}\limits_{j\in J}{V}_{j},\end{eqnarray} wobei die V_j, j ∈ J, paarweise disjunkte offene Teilmengen von Y, und alle Abbildungen p | V_j → U Homöomorphismen sind.

Achtung! In Lehrbüchern der Topologie versteht man unter einer Überlagerung meist das, was hier als unverzweigte unbegrenzte Überlagerung bezeichnet wird. In der Funktionentheorie ist es jedoch wichtig, auch verzweigte und begrenzte Überlagerungen zu betrachten.

Beispiele: a) Sei k ∈ ℕ, k ≥ 2, und sei p_k : ℂ → ℂ, z ↦ z^k. Dann ist 0 der einzige Verzweigungspunkt von p_k. Die Abbildung \begin{eqnarray}{p}_{k}:{{\mathbb{C}}}^{*}\to {{\mathbb{C}}}^{*},\ z\mapsto {z}^{k}\end{eqnarray} ist unbegrenzt und unverzweigt.

b) Die Abbildung exp : ℂ → ℂ* ist eine unverzweigte unbegrenzte Überlagerung.

c) Die kanonische Injektion \begin{eqnarray}\{z\in {\mathbb{C}}||z|\lt 1\}\to {\mathbb{C}}\end{eqnarray} ist unverzweigt, aber nicht unbegrenzt.

d) Ist Γ ⊂ ℂ ein Gitter und π : ℂ → ℂ/Γ die kanonische Quotientenabbildung, dann ist π eine unverzweigte, unbegrenzte Überlagerung.

Es gilt folgender Satz:

Seien X und Y Hausdorffräume, X kurvenzusammenhängend, und p : Y → X eine unverzweigte unbegrenzte Überlagerung. Dann sind für je zwei Punkte x₀, x₁ ∈ X die Mengen p⁻¹ (x₀) und p⁻¹ (x₁) gleichmächtig.

Man bezeichnet die Mächtigkeit von p⁻¹(x), x ∈ X, als die Blätterzahl der Überlagerung; sie kann endlich oder unendlich sein.