stochastische Unabhängigkeit von Zufallsvariablen, wichtiges Konzept der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Eine Familie (X_i)i∈I von auf einem Wahrscheinlichkeitsraum \(({\rm{\Omega}},\ {\mathfrak{A}},\ P)\) definierten Zufallsvariablen mit möglicherweise verschiedenen Wertebereichen heißt (stochastisch) unabhängig, wenn die Familie (σ(X_i))_i∈I der von ihnen erzeugten σ-Algebren unabhängig ist. Die Indexmenge I ist dabei beliebig. Im Fall I = {1, …, n} bzw. I = ℕ spricht man von den unabhängigen Zufallsvariablen X₁, …,X_n bzw. der unabhängigen Folge (X_n)_n≥1. Bezeichnet \(({{\rm{\Omega}}}_{i},\ {{\mathfrak{A}}}_{i})\) für jedes i ∈ I den Bildraum von X_i, so bedeutet die Unabhängigkeit der Familie (X_i)_i∈I konkret, daß für jede nicht leere, endliche Teilmenge {i₁, …,i_n} von I und beliebige \({A}_{{i}_{j}}\in {{\mathfrak{A}}}_{i}{}_{{}_{j}}\), j = 1, …, n, die Beziehung \begin{eqnarray}\begin{array}{l}P({X}_{{i}_{1}}\in {A}_{{i}_{1}},\ldots,{X}_{{i}_{n}}\in {A}_{{i}_{n}})\\ \ \quad =P({X}_{{i}_{1}}\in {A}_{{i}_{1}})\cdots P({X}_{{i}_{n}}\in {A}_{{i}_{n}})\end{array}\end{eqnarray} gilt. Im Falle endlich vieler Zufallsvariablen X₁, …,X_n ist die Unabhängigkeit zur Bedingung P(X₁ ∈ A₁, …,X_n ∈ A_n) = P(X₁ ∈ A₁)…..P(X_n ∈ A_n) für alle \({A}_{{i}_{j}}\in {{\mathfrak{A}}}_{i}{}_{{}_{j}}\), i = 1, …,n, äquivalent, und speziell für diskrete Zufallsvariablen zu P(X₁ = x₁, …,X_n = x_n) = P(X₁ = x₁)· … · P(X_n = x_n) für alle Elemente x_i aus den Wertebereichen der X_i, i = 1, …,n.

Eine Familie (X_i)_i∈I ist überdies genau dann unabhängig, wenn die Verteilung von (X_i)_i∈I, aufgefaßt als auf \(({\rm{\Omega}},\ {\mathfrak{A}},\ P)\) definierte Zufallsvariable mit Werten in dem Produktraum \(({\displaystyle {\prod}_{i\in I}{{\rm{\Omega}}}_{i},\otimes}_{i\in I}{{\mathfrak{A}}}_{i})\), gleich dem Produktmaß der Verteilungen \({P}_{{X}_{i}}\) der X_i ist. Für I = {1, …,n} heißt das konkret, wenn für die gemeinsame Verteilung \({P}_{{X}_{1}},\ldots,{X}_{n}\) gilt: \({P}_{{X}_{1}}{}_{,\ldots,{X}_{n}}={P}_{{X}_{1}}\otimes \ldots \otimes {P}_{{X}_{n}}\). Sind die reellen Zufallsvariablen X₁, …, X_n stetig mit Dichten \({f}_{{X}_{1}},\ldots,{f}_{{X}_{n}}\), so ist ihre Unabhängigkeit auch zur Aussage äquivalent, daß \({f}_{{X}_{1},\ldots,{X}_{n}}({x}_{1},\ldots,{x}_{n})={f}_{X}{}_{{}_{1}}({x}_{1})\cdot \ldots \cdot {f}_{{X}_{n}}({x}_{n}),{x}_{1},\ldots,{x}_{n}\in {\mathbb{R}}\), die gemeinsame Dichte von X₁, …,X_n ist. Weiterhin ist zu bemerken, daß sich die Unabhängigkeit einer Familie (X_i)_i∈I von Zufallsvariablen mit Werten in den meßbaren Räumen \(({{\rm{\Omega}}}_{i},\ {{\mathfrak{A}}}_{i})\) überträgt, wenn man die X_i meßbar transformiert. Ist etwa (X_i)_i∈I unabhängig und \({f}_{i}:({{\rm{\Omega}}}_{i},\ {{\mathfrak{A}}}_{i})\to ({{\rm{\Omega}}}_{i}^{\prime},\ {{\mathfrak{A}}}_{i}^{\prime})\) für jedes i ∈ I eine meßbare Abbildung, so ist auch die Familie (f_i ○ X_i)_i∈I der Kompositionen unabhängig.