unbeschränkt teilbare Verteilung, unendlich teilbare Verteilung, Verteilung P_X einer reellen Zufallsvariable X, die für jedes n ∈ ℕ als n-faches Faltungsprodukt eines Wahrscheinlichkeitsmaßes μ_n mit sich selbst dargestellt werden kann, d. h., für jedes n ∈ ℕ gilt \begin{eqnarray}{P}_{X}=\mathop{\underbrace{{\mu}_{n}\ast \cdots \ast {\mu}_{n}}}\limits_{n\ {\rm{Faktoren}}}.\end{eqnarray}

Man nennt X dann auch eine unendlich teilbare Zufallsgröße. Die Verteilung P_X von X ist genau dann unbegrenzt teilbar, wenn X für jedes n ∈ ℕ als Summe von n unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen dargestellt werden kann.

Eine weitere äquivalente Charakterisierung der unbegrenzt teilbaren Verteilungen ist mit Hilfe der charakteristischen Funktionen möglich. Danach ist P_X genau dann unbegrenzt teilbar, wenn die zugehörige charakteristische Funktion φ_X für jedes n ∈ ℕ als n-te Potenz \({\phi}_{X}={\phi}_{n}^{n}\) einer bestimmten charakteristischen Funktion φ_n dargestellt werden kann. Die charakteristische Funktion φ_n ist dabei eindeutig bestimmt. Beispiele unbegrenzt teilbarer Verteilungen sind die Cauchy-, Gamma- und Poisson-Verteilung sowie die Normalverteilung und die negative Binomialverteilung. Die charakteristischen Funktionen unbegrenzt teilbarer Verteilungen sind durch die Lévy-Chinčin-Darstellung charakterisiert, wonach φ genau dann die charakteristische Funktion einer unbegrenzt teilbaren Verteilung ist, wenn \begin{eqnarray}\begin{array}{l}\mathrm{ln}\,\phi (t)=it\beta -\frac{{t}^{2}{\sigma}^{2}}{2}\\ \quad \quad\, \ +\displaystyle \underset{-\infty}{\overset{\infty}{\int}}\left({e}^{itx}-1-\frac{itx}{1+{x}^{2}}\right)\frac{1+{x}^{2}}{{x}^{2}}v(dx)\end{array}\end{eqnarray} gilt, wobei β ∈ ℝ und σ² ≥ 0 ist, sowie v ein endliches Maß auf der Borel-σ-Algebra \({\mathfrak{B}}({\mathbb{R}})\) mit v({0}) = 0 bezeichnet.

Wie der folgende Satz zeigt, kommt den unbegrenzt teilbaren Verteilungen eine besondere Bedeutung bei der Charakterisierung der Grenzverteilungen von Partialsummen \({S}_{n}=\displaystyle {\sum}_{k=1}^{n}{X}_{n,k}\) zu, wobei für jedes n ∈ ℕ eine endliche Folge X_n,1, … ,X_n,n unabhängiger und identisch verteilter Zufallsgrößen gegeben ist.

Ein auf \({\mathfrak{B}}({\mathbb{R}})\)definiertes Wahrscheinlichkeitsmaß Q ist genau dann der Grenzwert einer in Verteilung konvergenten Folge (S_n)_n∈ℕvon Partialsummen der beschriebenen Art, wenn es unbegrenzt teilbar ist.

Der Begriff der unendlich teilbaren Verteilung und die Lévy-Chinčin-Darstellung können auf höhere Dimesionen verallgemeinert werden.