Lexikon der Mathematik: Unterraum eines Vektorraumes
linearer Unterraum, Teilraum eines Vektorraumes, nicht leere Teilmenge U ⊆ V eines VektorraumesV über einem Körper \({\mathbb{K}}\), die abgeschlossen ist bezüglich der Vektoraddition und der skalaren Multiplikation, d.h., für die gilt: Für alle u1, u2, u ∈ U und alle \(\alpha \in {\mathbb{K}}\) ist stets u1 + u2 ∈ U und αu ∈ U.
Ist U Unterraum von V und V Unterraum von W, so ist auch U Unterraum von W. Der Durchschnitt einer beliebigen Familie (Ui)i∈I von Unterräumen eines Vektorraumes V ist selbst Unterraum von V. Die Vereinigung von Unterräumen ist i. allg. aber kein Unterraum.
Der Nullraum {0} ist Unterraum jedes Vektorraumes. Ein Unterraum eines \({\mathbb{K}}\)-Vektorraumes V enthält stets den Nullvektor 0 ∈ V und ist selbst ein \({\mathbb{K}}\)-Vektorraum, man spricht deshalb auch von einem Untervektorraum.
Beispiele:
(1) Die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems Ax = 0 mit einer (m × n)-Matrix A über \({\mathbb{K}}\) bildet einen Unterraum des Vektorraumes \({{\mathbb{K}}}^{n}\).
(2) Die Menge
(3) Sei ϕ: V → V ein Endomorphismus auf dem endlich-dimensionalen Vektorraum V über \({\mathbb{K}}\). Dann bildet die Menge aller Vektoren der Form f(ϕ)(v) mit einem Polynom \(f\in {\mathbb{K}}(t)\) für jedes v ∈ V einen ϕ-invarianten Unterraum von V. Dieser Unterraum ist der Durchschnitt aller ϕ-invarianten Unterräume von V, die v enthalten.
(4) Die Menge aller fast überall verschwindenden Abbildungen einer nicht-leeren Menge A in einen Körper \({\mathbb{K}}\) bildet einen Unterraum von \({{\mathbb{K}}}^{A}\).
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