maßtheoretisch motivierter Topologiebegriff.

Es seien Ω ein lokal-kompakter Raum und \({{\mathcal M}}_{+}({\rm{\Omega}})\) die Menge aller Radon-Maße auf \( {\mathcal B} ({\rm{\Omega}})\). Dann heißt die gröbste Topologie auf \({{\mathcal M}}_{+}({\rm{\Omega}})\), bezüglich der die Abbildungen T_f : M₊(Ω) → ℝ, definiert durch T_f (μ) = ∫ fdμ für alle stetigen Funktionen f auf Ω mit kompakten Träger stetig sind, die vage Topologie auf Ω.

Diese Topologie ist Hausdorffsch, und die Konvergenz in dieser Topologie ist die vage Konvergenz. Die Menge der diskreten Radon-Maße auf \( {\mathcal B} ({\rm{\Omega}})\) liegt dicht in \({{\mathcal M}}_{+}({\rm{\Omega}})\). Konvergiert eine Folge (μ_n|n ∈ ℕ) von beschränkten Radon-Maßen vage gegen ein Radon-Maß μ, so ist die schwache Konvergenz der Folge äquivalent zu der Konvergenz der totalen Variationen der Folge gegen die totale Variation von μ, und ebenso zur Straffheit der Folge. Weiter sind folgende Aussagen äquivalent:

(a) \({{\mathcal M}}_{+}({\rm{\Omega}})\) ist bzgl. der vagen Topologie ein Polnischer Raum.

(b) \({{\mathcal M}}_{+}({\rm{\Omega}})\) ist bzgl. der vagen Topologie metrisierbar und besitzt eine abzählbare Basis.

(c) Ω besitzt eine abzählbare Basis.

(d) Ω ist Polnischer Raum.