sind u.a. bei der Wahl von Abstiegsrichtungen in Optimierungsverfahren gebräuchlich.

Ein Skalarprodukt < ·, · > des ℝⁿ erzeugt stets eine Metrik \begin{eqnarray}d(x,y):={x}^{T}\cdot A\cdot y,\end{eqnarray} wobei \begin{eqnarray}A=({a}_{ij}):=(\lt {e}_{i},{e}_{j}\gt)\end{eqnarray} aus den paarweisen Produkten der Einheitsvektoren e_i bestimmt ist. Die Matrix A ist symmetrisch und positiv definit.

Im Verlauf von Optimierungsverfahren sucht man häufig zu einem berechneten Punkt x und einer berechneten Matrix A eine bezüglich der von A erzeugten Metrik konjugierte Richtung y zu x, d. h., ein y mit \begin{eqnarray}{x}^{T}\cdot A\cdot y=0.\end{eqnarray}

Im weiteren Verlauf des Verfahrens wird dann A üblicherweise verändert, wodurch bei den nächsten Schritten konjugierte Richtungen zu anderen Metriken gesucht werden. Die benutzten Metriken ändern sich also schrittweise, sie sind variabel.

Typische Verfahren der Optimierung, die variable Metriken verwenden, sind das Verfahren von

Davidson, Fletcher und Powell und das numerisch stabilere BFGS-Verfahren.