Lexikon der Mathematik: Variation von Hodge-Strukturen
Begriff aus der algebraischen Geometrie.
Eine Variation von Hodge-Strukturen vom Gewicht k über einer komplexen Mannigfaltigkeit Tist eine lokal konstante Garbe H von endlichdimensionalen reellen Vektorräumen auf T mit einer absteigenden Filtration des zugehörigen holomorphen Vektorbündels \( {\mathcal H} \ =\ {{\mathcal{O}}}_{T}\ {\otimes}_{{\mathbb{Q}}}\ H\) durch holomorphe Unterbündel \({{\mathcal F}}^{p}\ \subset \ {\mathcal H} \) so, daß für jeden Punkt t ∈ T der Vektorraum Ht zusammen mit der Filtration \({({F}_{t}^{p})}_{p}=({{\mathcal F}}^{p}|t)\) auf \({H}_{t}\ {\otimes}_{{\mathbb{R}}}\ {\mathbb{C}}\ =\ {\mathcal H} |\ t\) eine reelle Hodge-Struktur vom Gewicht k ist, und für den flachen holomorphen Zusammenhang \(\nabla =d\otimes I{d}_{H}\) auf \( {\mathcal H} \) gilt:
Eine Variaton von polarisierten Hodge-Strukturen ist eine Variation von Hodge-Strukturen \((H,\ {{\mathcal F}}^{p})\) die zusätzlich mit einer lokal konstanten Garbe Hℤ ⊂ H abelscher Gruppen und einer bilinearen Abbildung Q : Hℤ ⊗ Hℤ → ℤT (konstante Garbe ℤ auf T) versehen ist, so daß H = Hℤ ⊗ ℝ gilt, und (Hℤ, Q) auf jeder Faser eine Polarisierung der reellen Hodge-Struktur \(({H}_{t},\ {F}_{t}^{p})\) induziert.
Die wichtigsten Beispiele für Variationen von Hodge-Strukturen sind von folgender Art:
Sei X ⊂ ℙN × T eine abgeschlossene komplexe Untermannigfaltigkeit und f : X → T die Projektion auf T, die als glatt vorausgesetzt sei. X ist also eine Familie glatter projektiver Mannigfaltigkeiten
Dann ist für jedes k ∈ ℤ die Garbe Rkf*ℤX lokal konstante Garbe mit den Halmen Hk(Xt, ℤ) in t ∈ T, ebenso ihr Bild
Der Komplex \({{\rm{\Omega}}}_{X/S}^{\bullet}\) besitzt eine Filtration durch Unterkomplexe \({F}^{p}{{\rm{\Omega}}}_{X/S}^{\bullet}:\ {({F}^{p}{{\rm{\Omega}}}_{X/S}^{\bullet})}^{j}=0\) für j< p und = \({{\rm{\Omega}}}_{X/S}^{j}\) für j ≥ p (die sogenannte „stupide Filtration“), und \({{\mathcal F}}^{p}\) ist das Bild des induzierten Morphismus’
Auf diese Weise erhält man eine Variation von Hodge-Strukturen (VHS) \((H,{{\mathcal F}}^{p})\), zusätzlich mit einem Gitter HZ ⊂ H und einer Bilinearform
Es gibt universelle Variationen von polarisierten Hodge-Strukturen in folgendem Sinne: Wenn H ein konstantes lokales System ist und \({f}^{p}=rg({{\mathcal F}}^{p})\) der Rang von \({{\mathcal F}}^{p}\), so wird die Filtration \({{\mathcal F}}^{p}\) von \( {\mathcal H} \) durch einen Morphismus μ in die Fahnenmannigfaltigkeit \( {\mathcal F} (({f}^{p}),\ {H}_{{\mathbb{C}}})\ =\ {\mathbb{F}}\) aus der universellen Fahne induziert. Wenn Hℤ, Q Polarisierung ist, so faktorisiert μ über die Untermannigfaltigkeit \(D\subset \check{D}\subset {\mathbb{F}}\), Fp orthogonal zu Fk−p+1 bzgl. Q}, \(D=\{({F}^{p})\in \check{D}|Q{(\sqrt{-1})}^{p-q}\xi,\overline{\xi})\gt 0\ \,\text{f}{\rm\ddot{u}}\text{r}\,\ \xi \in {H}^{p,q}={F}^{p}\cap \overline{{F}^{k-p}}\}\). \(\check{D}\) ist eine homogene algebraische Varietät, auf der die orthogonale Gruppe von Q auf Hℂ transitiv operiert, und D ist offene Untermannigfaltigkeit von \(\mathop{{D}^{an}}\limits^{\vee}\), auf der \(G({\mathbb{R}})={\mathbb{O}}({H}_{{\mathbb{R}}},Q)\) transitiv operiert.
Die Monodromiegruppe Γ des lokalen Systems Hℤ einer polarisierten VHS ist eine diskrete Untergruppe von G(ℝ), unter bestimmten Voraussetzungen über T gilt der Monodromiesatz, der die Quasiunipotenz bestimmter Monodromietransformationen beinhaltet.
Jede polarisierte VHS über einer analytischen Mannigfaltigkeit T mit der universellen Überlagerung \(\mathop{T}\limits^{\sim}\) induziert einen Morphismus \(\mathop{\mu}\limits^{\sim}:\mathop{T}\limits^{\sim}\to D\) (und μ : T → Γ \ D so, daß das Diagramm kommutativ ist, Γ ist die Monodromiegruppe). Die Griffith-Transversalität drückt sich darin aus, daß die zu \(\mathop{\mu}\limits^{\sim}\) gehörige Tangentialabbildung das Tangentialbündel von \(\mathop{T}\limits^{\sim}\) in ein bestimmtes Unterbündel Thor(D) ⊂ T(D) des Tangentialbündels an D abbildet: Schreibt man \(\check{D}=G({\mathbb{C}})/B\), B eine Isotropiegruppe eines Punktes 0 ∈ D, dem die Hodge-Struktur \(({H}_{0}^{p.q})\) entspricht, so ist \({\mathfrak{g}}\ =\ \mathrm{Lie}(G({\mathbb{C}}))\subset \mathrm{End}({H}_{{\mathbb{C}}})\) mit einer reellen Hodge-Struktur vom Gewicht 0 versehen durch
Die Lie-Algebra von B ist
Die Quasiunipotenz der lokalen Monodromie zieht ein bestimmtes Verhalten einer VHS bei Annäherung an Randpunkte nach sich: Wenn T = Δ*a × T′,
(1) Das Bündel \( {\mathcal H} \) mit der Filtration \({{\mathcal F}}^{p}\) und der Bilinearform Q läßt sich holomorph auf Δa × T′ fortsetzen.
(2) Für die daraus resultierenden nilpotenten Orbits
Eine Abbildung \(N:\mathcal{H}^{a}\to \check{D}\) der Form
Jeder nilpotente Endomorphismus N von Hℝ definiert eine eindeutig bestimmte aufsteigende Filtration W(N) durch W(N)n = Hℝ bzw. W(N)−n = 0 für Nn = 0, und induktiv, für m ≥ 1,
Sie ist durch die Eigenschaften
Letzteres bedeutet: Die Bilinearform Q ist N-invariant, W ist die verschobene Filtration W(N), NFp ⊆ Fp−1, und Q(·, Nℓ ·) induziert eine Polarisierung der Hodge-Struktur vom Gewicht ℓ − k auf
Als Grenzfall der Variation von Hodge-Strukturen erhält man also gemischte Hodge-Strukturen. Jede gemischte Hodge-Struktur (Hℝ, W, F) läßt sich in eine zerfallende gemischte Hodge-Struktur \(({H}_{{\mathbb{R}}},W,\tilde{F})\) degenerieren, d. h.
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