Unter Vektoranalysis verstehen Mathematiker und Anwender, z. B. Physiker, oft recht verschieden aussehende Dinge: Der Mathematiker hat die Theorie der alternierenden Differentialformen im Auge, der Anwender mehr die, klassische‘ Vektoranalysis, etwa in der Mechanik oder der Feldtheorie. Hier soll – in einem relativ einfachen Rahmen – die erste Auffassung skizziert werden. Es wird aber auch die Übersetzung in die Sprache der Anwender vorgenommen. So werden z. B. die in der Physik vorkommenden Integralformeln in der in der Physik üblichen Symbolik dargestellt, die jedoch erst durch Verwendung der vektorwertigen Differentialformen umfassende Übersicht und eine elegante Darstellung liefert und so auch den mehr theoretisch interessierten Mathematiker voll befriedigt.

Ziel ist, für n ∈ ℕ ein Analogon zum Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung auf dem ℝⁿ zu gewinnen. Nützlich hierfür ist der Kalkül der Differentialformen. Alle im folgenden betrachteten Vektorräume seien reell.

Multilineare Abbildungen

Es seien n ∈ ℕ und \(\Re \), \({\mathfrak{S}}\) Vektorräume. Mit \({\mathfrak{L}}(\Re,{\mathfrak{S}})\) wird der Vektorraum der linearen Abbildungen von \(\Re \) in \({\mathfrak{S}}\) bezeichnet. Eine Abbildung \(f:{\Re}^{n}\to {\mathfrak{S}}\) heißt genau dann „n-linear“, wenn für jedes v ∈ {1, …,n} und \(({x}_{1},\ldots,{x}_{v-1},{x}_{v+1},\ldots,{x}_{n})\in {\Re}^{n-1}\) die Abbildung \(\Re \ni {x}_{v}\mapsto f({x}_{1},\ldots,{x}_{n})\in {\mathfrak{S}}\) linear ist. Grob gesagt, in jeder der n Variablen ist f linear. Statt 2-linear sagt man meist bilinear.

Offenbar ist \begin{eqnarray}{{\mathfrak{L}}}^{n}(\Re,{\mathfrak{S}}):=\{f|f:{\Re}^{n}\to {\mathfrak{S}}\ n-\mathrm{linear}\}\end{eqnarray} ein Untervektorraum des Vektorraums aller \({\mathfrak{S}}\)-wertigen Abbildungen auf \({\Re}^{n}\). Wir notieren abkürzend \({{\mathfrak{L}}}^{n}:={{\mathfrak{L}}}^{n}(\Re):={{\mathfrak{L}}}^{n}(\Re,{\mathbb{R}})\) – und entsprechend bei den folgenden Funktionenräumen, wenn der Zielbereich ℝ ist, und sprechen in diesem Fall von Formen.

Für n ≥ 2, \(g\in {{\mathfrak{L}}}^{n}(\Re,{\mathfrak{S}})\) und \(({x}_{1},\ldots,{x}_{n})\in {\Re}^{n}\) sei \begin{eqnarray}(\kappa (g){x}_{1})({x}_{2},\ldots,{x}_{n}):=g({x}_{1},\ldots,{x}_{n}).\end{eqnarray}

Dann ist \begin{eqnarray}\kappa :{{\mathfrak{L}}}^{n}(\Re,{\mathfrak{S}})\to {\mathfrak{L}}(\Re,{{\mathfrak{L}}}^{n-1}(\Re,{\mathfrak{S}}))\end{eqnarray} ein Isomorphismus. Ergänzend bezeichnen wir \({{\mathfrak{L}}}^{0}(\Re,{\mathfrak{S}}):={\mathfrak{S}},{\Re}^{*}:={\mathfrak{L}}(\Re,{\mathbb{R}})={{\mathfrak{L}}}^{1}(\Re,{\mathbb{R}})\) und \begin{eqnarray}{\mathfrak{M}}(\Re,{\mathfrak{S}}):=\displaystyle \underset{v=0}{\overset{\infty}{\bigcup}}{{\mathfrak{L}}}^{v}(\Re,{\mathfrak{S}}).\end{eqnarray}

Elemente aus \({\mathfrak{M}}(\Re,{\mathfrak{S}})\) heißen multilineare Abbildungen. Für r, s ∈ ℕ₀, \(f\in {{\mathfrak{L}}}^{r}\), \(g\in {{\mathfrak{L}}}^{s}\) und \(({h}_{1},\ldots,{h}_{r+s})\in {\Re}^{r+s}\) sei \begin{eqnarray}\begin{array}{c}{p}_{r,s}(f,g)({h}_{1},\ldots,{h}_{r+s}):=\\ f({h}_{1},\ldots,{h}_{r})g({h}_{r+1},\ldots,{h}_{r+s}).\end{array}\end{eqnarray}

Im Falle r = 0 oder s = 0 ist dies wieder, richtig‘ zu lesen (Multiplikation mit einer reellen Zahl). Dann ist \({p}_{r,s}:{{\mathfrak{L}}}^{r}\times {{\mathfrak{L}}}^{s}\to {{\mathfrak{L}}}^{r+s}\) bilinear.

Damit erhält man das assoziative „Tensorprodukt“\begin{eqnarray}\cdot :{\mathfrak{M}}\times {\mathfrak{M}}\to {\mathfrak{M}}.\end{eqnarray}

Alternierende Abbildungen, Alternante

Es sei S_n die Menge der Permutationen auf {1, …,n}, also \begin{eqnarray}{S}_{n}:=\{\sigma |\sigma :\{1,\ldots,n\}\to \{1,\ldots,n\}\ {\rm{bijektiv}}\}.\end{eqnarray}

Dann ist (S_n, ○) Gruppe der Ordnung n!, die symmetrische Gruppe vom Grade n. Für σ ∈ S_n bezeichne i(σ) die Anzahl der Inversionen, d. h. der (i, j) ∈ {1, …,n} mit i< j und σ(i) >σ(j), und sgn(σ) ≔ (−1)^i(σ). Es gilt \begin{eqnarray}\mathrm{sgn}(\sigma \circ \tau)=\mathrm{sgn}(\sigma)\ \mathrm{sgn}(\tau)\ \,\text{f}{\rm\ddot{u}}\text{r}\,\ \sigma,\tau \in {S}_{n}.\end{eqnarray}

Für \(f\in {{\mathfrak{L}}}^{n}(\Re,{\mathfrak{S}})\), σ ∈ S_n und \(({h}_{1},\ldots,{h}_{n})\in {\Re}^{n}\) sei \begin{eqnarray}{f}^{\sigma}({h}_{1},\ldots,{h}_{n}):=f({h}_{\sigma (1)},\ldots,{h}_{\sigma (2)}).\end{eqnarray}\({{\mathfrak{L}}}^{n}(\Re,{\mathfrak{S}})\ni f\) heißt symmetrisch, wenn f^σ = f für alle σ ∈ S_n ist, und alternierend, wenn jeweils f^σ = sgn(σ)f gilt.

Beispiele alternierender Abbildungen sind etwa Determinanten, Volumina (bei Orientierung), Vektorprodukt und skalares Tripelprodukt. Mit \begin{eqnarray}{{\mathfrak{A}}}^{k}(\Re,{\mathfrak{S}})\\ :=\bigg\{\begin{array}{lll}{\mathfrak{S}}(={{\mathfrak{L}}}^{0}(\Re,{\mathfrak{S}})) &, & k=0\\ \{f|{{\mathfrak{L}}}^{k}(\Re,{\mathfrak{S}})\ni f\ {\rm{alternierend}}\} &, & k\in {\mathbb{N}}\end{array}\end{eqnarray} sei \begin{eqnarray}{\mathfrak{A}}(\Re,{\mathfrak{S}}):=\displaystyle \underset{\kappa =1}{\overset{\infty}{\bigcup}}{{\mathfrak{A}}}^{\kappa}(\Re,{\mathfrak{S}})\end{eqnarray} die Menge der alternierenden multilinearen Abbildungen von \(\Re \) in \({\mathfrak{S}}\). Die durch \begin{eqnarray}A(f):={A}_{r}(f):=\frac{1}{r!}\displaystyle \sum _{\sigma \in {S}_{r}}\mathrm{sgn}\sigma {f}^{\sigma}\end{eqnarray} für \(f\in {{\mathfrak{L}}}^{r}(\Re,{\mathfrak{S}})\) definierte Abbildung A heißt Alternante. Es gilt \begin{eqnarray}f\in {\mathfrak{A}}(\Re,{\mathfrak{S}})\iff f\in {\mathfrak{M}}(\Re,{\mathfrak{S}})\wedge Af=f.\end{eqnarray}

Für r, s ∈ ℕ₀ und \(f\in {{\mathfrak{A}}}^{r}\), \(g\in {{\mathfrak{A}}}^{s}\) sei \begin{eqnarray}{a}_{r,s}(f,g):=\frac{(r+s)!}{r!s!}{A}_{r+s}({p}_{r,s}(f,g)).\end{eqnarray}

Damit erhält man das assoziative alternierende Produkt, auch äußeres Produkt oder GraßmannProdukt, \begin{eqnarray}\wedge :{\mathfrak{A}}\times {\mathfrak{A}}\to {\mathfrak{A}}.\end{eqnarray}

Endlichdimensionale Räume, Basen

Es seien noch \(k:=\dim \ \Re \in {\mathbb{N}}\), \(\ell :=\dim \ {\mathfrak{S}}\in {\mathbb{N}}\), e₁, …,e_k eine Basis von \(\Re \) und f₁, …,f_ℓ eine Basis von \({\mathfrak{S}}\cdot {e}^{1},\ldots,{e}^{k}\). e¹, …,e^k bezeichne die duale Basis des \({\Re}^{*}\) zu e₁, …,e_k, also die durch e^κ e_v = δ_v,κ festgelegte.

\(\{{e}^{{i}_{1}}\wedge \cdots \wedge {e}^{{i}_{n}}\cdot {f}_{\lambda}|1\le {i}_{1}\lt \cdots \lt {i}_{n}\le k,\ \lambda \in \{1,\ldots,\ell \}\}\)ist eine Basis von \({{\mathfrak{A}}}^{n}(\Re,{\mathfrak{S}})\) (für 1 ≤ n ≤ k). Damit gilt\begin{eqnarray}\dim {{\mathfrak{A}}}^{n}(\Re,{\mathfrak{S}})=\left(\begin{array}{c}\dim \Re \\ n\end{array}\right)\cdot \dim {\mathfrak{S}}.\end{eqnarray}

Speziell ist dim \({{\mathfrak{A}}}^{k}=1\); für \(B\in {\mathfrak{L}}(\Re,\ \Re)\), \(a\in {{\mathfrak{A}}}^{k}\backslash \{0\}\) und \(({h}_{1},\ldots,{h}_{k})\in {\Re}^{k}\) sei \begin{eqnarray}{a}_{B}({h}_{1},\ldots,{h}_{k}):=a(B{h}_{1},\ldots,B{h}_{k}).\end{eqnarray}

Damit kann – unabhängig von dem speziellen a – die Determinante det B von B als eindeutiger Faktor eingeführt werden, der \begin{eqnarray}{a}_{B}=\det B\ a\end{eqnarray} erfüllt. Es ergeben sich darüber ganz leicht die Regeln für das Rechnen mit Determinanten.

Ist auch d₁, …, d_k eine Basis von \(\Re \), so wird mit einem a wie oben durch \begin{eqnarray}({d}_{1},\ldots,{d}_{k})\sim ({e}_{1},\ldots,{e}_{k})\\ :\iff \frac{a({d}_{1},\ldots,{d}_{k})}{a({e}_{1},\ldots,{e}_{k})}\gt 0\end{eqnarray} (unabhängig vom speziellen a) eine Äquivalenzrelation ∼ eingeführt. Die Menge der Basen von R zerfällt so in zwei disjunkte Klassen. Die Festlegung einer Orientierung bedeutet gerade die Wahl einer solchen Klasse. Man spricht dann auch von orientierten Basen.

Die *-Operation

Ist \(\Re \) ein Vektorraum mit der Dimension k ∈ ℕ, so gilt nach den vorangehenden Überlegungen \begin{eqnarray}\dim {{\mathfrak{A}}}^{r}(\Re)=\dim {{\mathfrak{A}}}^{k-r}(\Re).\end{eqnarray}

Gesucht ist ein kanonischer“ Isomorphismus zwischen \({{\mathfrak{A}}}^{r}(\Re)\) und \({{\mathfrak{A}}}^{k-r}(\Re)\). Dazu sei noch (· | ·) eine symmetrische nicht-ausgeartete Bilinearform auf \(\Re \), d. h. \((\cdot |\cdot):\ \Re \times \Re \to {\mathbb{R}}\) bilinear mit (a|b) = (b|a) und der Existenz eines y zu jedem x ≠ 0 mit (x|y) ≠ 0. Zudem sei noch eine Orientierung \({\mathbb{O}}\) festgelegt.

Es bezeichne τ den kanonischen Isomorphismus von \(\Re \) auf \(\Re * \), d.h. τx ≔ (x| ·), also (τx)(y) ≔ (x|y) für \(x,\ y\ \in \Re \). Mit der Gramschen Matrix\begin{eqnarray}G({a}_{1},\ldots,{a}_{k}):=\left(\begin{array}{ccc}({a}_{1}|{a}_{1}) & \cdots & ({a}_{1}|{a}_{k})\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ ({a}_{k}|{a}_{1}) & \cdots & ({a}_{k}|{a}_{k})\end{array}\right)\end{eqnarray} und der Gramschen Determinante\begin{eqnarray}{\rm{\Gamma}}({a}_{1},\ldots,{a}_{k}):=\det G({a}_{1},\ldots,{a}_{k})\end{eqnarray} erhält man ein ϵ ∈ {−1, 1} mit \begin{eqnarray}\varepsilon =\frac{{\rm{\Gamma}}({a}_{1},\ldots,{a}_{k})}{|{\rm{\Gamma}}({a}_{1},\ldots,{a}_{k})|}\end{eqnarray} für alle \(({a}_{1},\ldots,{a}_{k})\in {\mathbb{O}}\)\begin{eqnarray}D:=\varepsilon {(|{\rm{\Gamma}}({a}_{1},\ldots,{a}_{k})|)}^{-\frac{1}{2}}\tau {a}_{1}\wedge \cdots \wedge \tau {a}_{k}\end{eqnarray} ist unabhängig von der speziellen orientierten Basis a₁, …, a_k. Weiter ergibt sich die Existenz von \(({e}_{1},\ldots,{e}_{k})\in {\mathbb{O}}\) derart, daß \begin{eqnarray}G({e}_{1},\ldots,{e}_{k}):=\left(\begin{array}{cccc}{s}_{1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & {s}_{2} & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & {s}_{k}\end{array}\right)\end{eqnarray} mit s_κ ∈ {−1, 1}. Eine solche Basis heißt „E-Basis“. Man hat e^v = s_vτe_v, \(\varepsilon ={\displaystyle {\prod}_{\kappa =1}^{k}s}_{\kappa}\) und die einfache Form \begin{eqnarray}D=\varepsilon \tau {e}_{1}\wedge \cdots \wedge \tau {e}_{k}={e}^{1}\wedge \cdots \wedge {e}^{k}.\end{eqnarray}

Ist \((\Re,\ (\cdot \ |\ \cdot),\ {\mathbb{O}})\) ein orientierter euklidischer Raum (der Dimension k), so existiert ein \(({e}_{1},\ldots,{e}_{k})\in {\mathbb{O}}\) mit \begin{eqnarray}G({e}_{1}\ldots,{e}_{k}):=\left(\begin{array}{ccc}1 & \cdots & 0\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 1\end{array}\right).\end{eqnarray}

Hier gelten also s_κ = 1, e^κ = τe_κ, ϵ = 1. D heißt dann „orientiertes euklidisches Volumenmaß“.

Ein weiteres wichtiges Beispiel ist der Minkowski-Raum: Hier hat man k = 4 und eine E-Basis e₁, e₂, e₃, e₄ mit \begin{eqnarray}G({e}_{1},{e}_{2},{e}_{3},{e}_{4}):=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1\end{array}\right).\end{eqnarray}

Eine solche Basis heißt Minkowski-Basis. Für \(x=\displaystyle {\sum}_{v=1}^{4}{\xi}_{v}{e}_{v}\) und \(y=\displaystyle {\sum}_{v=1}^{4}{\eta}_{v}{e}_{v}\) gilt \((x|y)=\displaystyle {\sum}_{v=1}^{3}{\xi}_{v}{\eta}_{v}-{\xi}_{4}{\eta}_{4}\). \begin{eqnarray}\{B\in {\mathfrak{L}}(\Re,\Re)|\forall x,y\in \Re \ (Bx|By)=(x|y)\}\end{eqnarray} heißt Lorentz-Gruppe.

Zu \(f\in {{\mathfrak{A}}}^{k}\) und \(g\in {{\mathfrak{A}}}^{k}\backslash \{0\}\) existiert eindeutig ein q = q(f, g) ∈ ℝ mit f = q(f, g) g. Für r ∈ {0, …,k} und \(g\in {{\mathfrak{A}}}^{k}\backslash \{0\}\) bezeichne mit \({h}_{1},\ \ldots,{h}_{k-r}\in \Re \)\begin{eqnarray}\begin{array}{cll}\ast a & := & \varepsilon q(a,D)\ {\rm{im}}\ {\rm{Fall}}\ r=k\ {\rm{und}}\\ (\ast a)({h}_{1},\ldots,{h}_{k-r}) & := & \varepsilon q(a\wedge \tau {h}_{1}\wedge \cdots \wedge \tau {h}_{k-r},D)\\ & & {\rm{im}}\ {\rm{Falle}}\ r\lt k.\end{array}\end{eqnarray}

\(\ast :{{\mathfrak{A}}}^{r}\to {{\mathfrak{A}}}^{k-r}\) ist Isomorphismus.

Mit ⟨a | b⟩ ≔ ϵ *(a ∧ *b) für \(a,\ b\in {{\mathfrak{A}}}^{r}\) wird \begin{eqnarray}\langle \cdot |\cdot \rangle :{{\mathfrak{A}}}^{r}\times {{\mathfrak{A}}}^{r}\to {\mathbb{R}}\ bilinear,\ symmetrisch\end{eqnarray} und nicht-ausgeartet. Beim Wechsel der Orientierung ändern D und * das Vorzeichen, während ⟨· | ·⟩ unverändert bleibt.

Endlichdimensionale orientierte euklidische Vektorräume

Es sei \((\Re,\ (\cdot \ |\ \cdot),\ {\mathbb{O}})\) ein orientierter euklidischer Raum mit \(k:=\dim \ \Re \in {\mathbb{N}}\). | | bezeichne die zugehörige Norm. Für r ∈ {1, …,k} ist hier ⟨ · | ·⟩ ein Skalarprodukt. Für \(a\in {{\mathfrak{A}}}^{r}\) seien: \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{\langle a\rangle}_{r} & := & {\langle a|a\rangle}^{\frac{1}{2}}\\ {|a|}_{r} & := & \sup \ \{|a({h}_{1},\ldots,{h}_{r})|:{h}_{\varrho}\in \Re,\ |{h}_{\varrho}|\le 1\}\end{array}\end{eqnarray} | |_r und ⟨ ⟩_r sind Normen auf \({{\mathfrak{A}}}^{r}\) mit | |_r ≤ ⟨ ⟩_r · |a|_r = ⟨a⟩_r gilt genau dann, wenn a zerlegbar ist, d.h. \({a}_{1},\ldots,{a}_{r}\in \Re \) existieren mit a = τa₁ ∧ … ∧ τa_r.

Für \({h}_{1},\ldots,{h}_{k}\in \Re \) hat man \begin{eqnarray}|D({h}_{1},\ldots,{h}_{k})|={({\rm{\Gamma}}({h}_{1},\ldots,{h}_{k}))}^{\frac{1}{2}}\le |{h}_{1}|\cdots |{h}_{k}|.\end{eqnarray}

Im Falle k ≥ 2 sei das Vektorprodukt definiert durch: \begin{eqnarray}P:=\displaystyle \prod _{\kappa =1}^{k-1}{h}_{\kappa}:={\tau}^{-1}\ast (\tau {h}_{1}\wedge \cdots \wedge \tau {h}_{k-1})\end{eqnarray}

Es hat die Eigenschaften: \begin{eqnarray}\begin{array}{l}(P|{h}_{k})=D({h}_{1},\ldots,{h}_{k}),\\ |P|={({\rm{\Gamma}}({h}_{1},\ldots,{h}_{k-1}))}^{\frac{1}{2}},\end{array}\end{eqnarray}

P ist orthogonal zu h₁, …, h_k−1.

Für linear unabhängige h₁, …, h_k−1 ist das k-Tupel (h₁, …, h_k−1, P) in \({\mathbb{O}}\), P liefert also eine ausgezeichnete Basisergänzung.

Bei Vorgabe einer orientierten Orthonormalbasis e₁, …,e_k in \(\Re \) liefert |D(h₁, …,h_k)| gerade das Volumen (Lebesgue-Maß) des Urbildes des von h₁, …,h_k aufgespannten Parallelotops \begin{eqnarray}\bigg\{\displaystyle \sum _{\kappa =1}^{k}{\alpha}_{\kappa}{h}_{\kappa}|{\alpha}_{1},\ldots,{\alpha}_{k}\in [0,1]\bigg\}\end{eqnarray} unter der kanonischen Abbildung \({\rm{\Phi}}:{{\mathbb{R}}}^{k}\to \Re \), definiert durch \({\rm{\Phi}}({\alpha}_{1},\ldots,{\alpha}_{k})={\displaystyle {\sum}_{\kappa =1}^{k}\alpha}_{\kappa}{e}_{\kappa}\).

Multilineare Analysis

Es seien n ∈ ℕ und \(\Re \), \({\mathfrak{S}}\) von {0} verschiedene normierte Vektorräume. Mit \begin{eqnarray}|a|:=\sup \ \{|a({h}_{1},\ldots,{h}_{n})|:{h}_{v}\in \Re,\ |{h}_{v}|\le 1\}\end{eqnarray} für \(a\in {{\mathfrak{L}}}^{n}(\Re,\ {\mathfrak{S}})\) werden für m ∈ ℕ₀\begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{{\mathfrak{L}}}_{m}(\Re,{\mathfrak{S}}) & := & \{a\in {{\mathfrak{L}}}^{m}(\Re,{\mathfrak{S}})||a|\lt \infty \}\\ {{\mathfrak{A}}}_{m}(\Re,{\mathfrak{S}}) & := & \{a\in {{\mathfrak{A}}}^{m}(\Re,{\mathfrak{S}})||a|\lt \infty \}\end{array}\end{eqnarray} normierte Vektorräume. Der Isomorphismus κ aus dem Abschnitt über multilineare Abbildungen wird hier zu einem Isomorphismus normierter Vektorräume. Ist \({\mathfrak{S}}\) vollständig, also ein Banachraum, so sind auch \({{\mathfrak{L}}}^{m}(\Re,\ {\mathfrak{S}})\) und \({{\mathfrak{L}}}_{m}(\Re,\ {\mathfrak{S}})\) Banachräume.

Felder alternierender Abbildungen; Cartan-Ableitung

Mit einer nicht-leeren offenen Teilmenge O von \(\Re \) und r, s ∈ ℕ₀ betrachten wir die Vektorräume \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{{\mathfrak{F}}}_{r}^{(s)} & := & \{f|f:O\to {{\mathfrak{L}}}_{r}(\Re,{\mathfrak{S}})\ s-\mathrm{mal}\ {\rm{differenzierbar}}\}\\ {{\mathfrak{A}}}_{r}^{(s)} & := & \{f|f:O\to {{\mathfrak{A}}}_{r}(\Re,{\mathfrak{S}})\ s-\mathrm{mal}\ {\rm{differenzierbar}}\}\end{array}\end{eqnarray} der r-Felder bzw. r-Felder alternierender Abbildungen. Verknüpfungen und Operationen werden darauf – wie üblich – punktweise erklärt.

Für \(f\in {{\mathfrak{F}}}_{r}^{(1)}\), x ∈ O und \(({h}_{0},\ldots {h}_{r})\in {\Re}^{r+1}\) sei \begin{eqnarray}\dot{f}(x)({h}_{0},\ldots,{h}_{r}):=({f}^{\prime}(x){h}_{0})({h}_{1},\ldots,{h}_{r}),\end{eqnarray} also \(f\text{'}(x)=\kappa (\mathop{f}\limits^{\cdot}(x))\), falls r ∈ ℕ, und damit für \(f\in {{\mathfrak{A}}}_{r}^{(1)}\) die Cartan-Ableitung oder äußere Ableitung\begin{eqnarray}{\rm{d}}f:={{\rm{d}}}_{r}f:=(r+1){{\rm{A}}}_{r+1}\dot{f}.\end{eqnarray}

Einfache Regeln zur Cartan-Ableitung sind:

\(d:{{\mathfrak{A}}}_{r}^{(s+1)}\to {{\mathfrak{A}}}_{r+1}^{(s)}\) ist linear, \begin{eqnarray}d(f\wedge g)=df\wedge g+{(-1)}^{r}f\wedge dg\ (f\in {{\mathfrak{A}}}_{r}^{(1)},\ g\in {{\mathfrak{A}}}_{s}^{(1)})\end{eqnarray}

Für \(f\in {{\mathfrak{A}}}_{r}^{(2)}\) ist d_r+1(d_r(f)) = 0.

Die letzte der aufgelisteten Aussagen wird gelegentlich auch als Regel von Poincaré bezeichnet und kurz dd = 0 notiert.

Im endlichdimensionalen Fall kann die Cartan-Ableitung über Koordinatendarstellung gewonnen werden:

Koordinatendarstellung der Cartan-Ableitung

Es seien hier \(\Re \) ein Vektorraum der Dimension k ∈ ℕ, O eine nicht-leere offene Teilmenge von \(\Re \), (e₁, …,e_k) eine orientierte Basis von \(\Re \) und (e¹, …, e^k) die zugehörige duale Basis (von \(\Re * \)). (\({\mathfrak{S}}\) werde als ℝ gewählt.)

Zu r ∈ {1, …,k}, \(f\in {{\mathfrak{A}}}_{r}^{(0)}\)und allen (i₁, …,i_r) ∈ {1, …,k} mit i₁< … < i_r existieren eindeutig \({\varphi}_{{i}_{1},\ldots,{i}_{r}}\in {{\mathfrak{F}}}_{0}^{(0)}\)mit\begin{eqnarray}\forall y\in O\ f(y)=\displaystyle \sum _{1\le {i}_{1}\lt \cdots \lt {i}_{r}\le k}{\varphi}_{{i}_{1},\ldots,{i}_{r}}(y){e}^{{i}_{1}}\wedge \cdots \wedge {e}^{{i}_{r}}.\end{eqnarray}f ist genau dann differenzierbar, wenn alle \({\varphi}_{{i}_{1},\ldots,{i}_{r}}\)dies sind.

Für \(\varphi \in {{\mathfrak{A}}}_{0}^{(1)}\), also ϕ: O → ℝ differenzierbar, hat man \((d\varphi)(y)=\displaystyle {\sum}_{\kappa =1}^{k}{\varphi}_{\kappa}(y){e}^{\kappa}\), wobei \((d\varphi)(y){e}_{\kappa}=\varphi \text{'}(y){e}_{\kappa}=:({\partial}_{\kappa}\varphi)(y)=:\ \frac{\partial \varphi}{\partial {e}_{\kappa}}(y)\) (Richtungsableitung von ϕ in y nach e_κ). Häufig notiert man auch \(\frac{\partial \varphi}{\partial {x}^{\kappa}}\) statt \(\frac{\partial \varphi}{\partial {e}_{\kappa}}\) bzw. ∂_κϕ, was nicht gerade verständnisfördernd wirkt. Betrachtet man x^κ als die Abbildung, die jedem y ∈ O die κ-te Koordinate in der Darstellung bezüglich (e₁, …, e_k) zuordnet (κ-te Projektion), so gilt: \begin{eqnarray}\begin{array}{lllll}{\rm{d}}{x}^{\kappa} & : & O & \to & {\Re}^{*}\\ & & {\unicode {x2366}} & & {\unicode {x2366}}\\ & & y & \mapsto & {e}^{\kappa}\end{array}\end{eqnarray}

So hat man zusammen \begin{eqnarray}{\rm{d}}\varphi =\displaystyle \sum _{\kappa =1}^{k}{\partial}_{\kappa}\varphi \cdot {\rm{d}}{x}^{\kappa}\ (:O\to {\Re}^{*}(={{\mathfrak{A}}}_{1})).\end{eqnarray}

Für das obige f gilt mit diesen Bezeichnungen \begin{eqnarray}f=\displaystyle \sum _{1\le {i}_{1}\lt \cdots \lt {i}_{r}\le k}{\varphi}_{{i}_{1},\ldots,{i}_{r}}\cdot {\rm{d}}{x}^{{i}_{1}}\wedge \cdots \wedge {\rm{d}}{x}^{{i}_{r}}\end{eqnarray} und so, falls f differenzierbar ist: \begin{eqnarray}{\rm{d}}f=\displaystyle \sum _{1\le {i}_{1}\lt \cdots \lt {i}_{r}\le k}\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}\kappa =1\\ \kappa \notin \{{i}_{1},\ldots,{i}_{r}\}\end{array}}^{k}{\partial}_{\kappa}{\varphi}_{{i}_{1},\ldots,{i}_{r}}\cdot {\rm{d}}{x}^{\kappa}\wedge {\rm{d}}{x}^{{i}_{1}}\wedge \cdots \wedge {\rm{d}}{x}^{{i}_{r}}.\end{eqnarray}

Co-Differentiation

rot, div, grad, Δϕ, Δf

Zusätzlich zu den Annahmen des vorangehenden Abschnitts seien noch ⟨ ·|·⟩ ein Skalarprodukt auf R und die orientierte Basis e₁, …,e_k orthonormiert. Für r ∈ {0, …,k} und \(f\in {{\mathfrak{A}}}_{r}^{(1)}\) wird mit \begin{eqnarray}\delta f:={\delta}_{r}f:={(-1)}^{k(k-r)}\ast d\ast f,\ r\ge 1\end{eqnarray} – ergänzt durch δf ≔ δ₀f ≔ 0 (∈ ℝ) für r = 0 – die „Co-Differentiation“ δ bzw. die Co-Ableitung δf von f definiert.

δ hängt nicht von der Orientierung ab, da der *-Operator in der Definition zweimal vorkommt.

Für r ∈ {1, …, k} und \(f\in {{\mathfrak{A}}}_{r}^{(1)}\) mit der obigen Darstellung gilt dann \begin{eqnarray}\begin{array}{l}\delta f=\displaystyle \sum _{1\le {i}_{1}\lt \cdots \lt {i}_{r}\le k}\\ \displaystyle \sum _{\varrho =1}^{r}{(-1)}^{\varrho -1}{\partial}_{{i}_{\varrho}}{\varphi}_{{i}_{1},\ldots,{i}_{r}}\cdot {\rm{d}}{x}^{{i}_{1}}\wedge \hat{{\rm{d}}{x}^{{i}_{\varrho}}}\wedge \cdots \wedge {\rm{d}}{x}^{{i}_{r}}.\end{array}\end{eqnarray}

(Dabei soll das, Dach‘ markieren, daß der entsprechende Term wegzulassen ist.)

Man definiert für \(f:\ O\to \Re \) und ϕ: O → ℝ : \begin{eqnarray}\begin{array}{cccl}{\rm{div}}\ f & := & {\delta}_{1}\tau f & (f\ {\rm{differenzierbar}})\\ {\rm{grad}}\varphi & := & {\tau}^{-1}{\rm{d}}\varphi & (\varphi \ {\rm{differenzierbar}})\\ {\rm{\Delta}}\varphi & := & {\delta}_{1}{\rm{d}}\varphi & (\varphi \ 2\times {\rm{dfb}})\\ {\rm{\Delta}}f & := & {\tau}^{-1}({\delta}_{2}{{\rm{d}}}_{1}+{\rm{d}}{\delta}_{1})\tau f & (f\ 2\times {\rm{dfb}})\\ {\rm{rot}}f & := & {\tau}^{-1}\ast d\tau f & (f\ \mathrm{dfb},\ k=3)\end{array}\end{eqnarray}

Es ergeben sich für differenzierbare ϕ, ϕ^κ : O → ℝ (κ = 1, …,k) und \(f:\ =\displaystyle {\sum}_{\kappa =1}^{k}{\varphi}^{\kappa}{e}_{\kappa}\) leicht die folgenden Koordinatendarstellungen:\begin{eqnarray}\begin{array}{l}{\rm{div}}\ f=\displaystyle {\sum}_{\kappa =1}^{k}{\partial}_{\kappa}{\varphi}^{\kappa}\\ {\rm{grad}}\ \varphi =\displaystyle {\sum}_{\kappa =1}^{k}{\partial}_{\kappa}\varphi {e}_{\kappa}\\ {\rm{Falls}}\ k=3:\ {\rm{rot}}f=\\ ({\partial}_{2}{\varphi}^{3}-{\partial}_{3}{\varphi}^{2}){e}_{1}+({\partial}_{3}{\varphi}^{1}-{\partial}_{1}{\varphi}^{3}){e}_{2}+({\partial}_{1}{\varphi}^{2}-{\partial}_{2}{\varphi}^{1}){e}_{3}\end{array}\end{eqnarray}

Bei zweimaliger Differenzierbarkeit von ϕ und ϕ^κ: \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{\rm{\Delta}}\varphi =\displaystyle {\sum}_{\kappa =1}^{k}{\partial}_{\kappa}{\partial}_{\kappa}\varphi \\ {\rm{\Delta}}f=\displaystyle {\sum}_{\kappa =1}^{k}\displaystyle {\sum}_{\mu =1}^{k}{\partial}_{\mu}{\partial}_{\mu}{\varphi}^{\kappa}{e}_{\kappa}\end{array}\end{eqnarray}

Lemma von Poincare

Es seien \(\Re \) ein normierter Vektorraum und \({\mathfrak{S}}\) ein Banachraum, beide ungleich {0}. Mit einer nichtleeren offenen Teilmenge O von \(\Re \) und und r ∈ ℕ₀ sei \(\omega \in {{\mathfrak{A}}}_{r+1}^{(0)}\), d. h. \begin{eqnarray}\omega :O\to {{\mathfrak{A}}}_{r+1}(\Re,{\mathfrak{S}}).\end{eqnarray}Frage: Existiert eine Stammfunktion, d. h. \(\alpha \in {{\mathfrak{A}}}_{r}^{(1)}\) mit dα = ω?

Unter dem Stichwort Wegunabhängigkeit des Kurvenintegrals ist ausgeführt, daß die Existenz von Stammfunktionen äquivalent zur Wegunabhängigkeit von Integralen ist.

Vorüberlegungen: Wenn \(\alpha :O\to {{\mathfrak{A}}}_{r}(\Re,{\mathfrak{S}})\) zweimal differenzierbar mit dα = ω existiert, dann ist dω = 0 (nach Regel von Poincaré).

Auch für \(\omega :O\to {{\mathfrak{A}}}_{r+1}(\Re,{\mathfrak{S}})\) beliebig oft differenzierbar mit dω = 0 folgt – für beliebiges O – nicht die Existenz einer Stammfunktion.

Für \(a,b\in \Re \) bezeichne \(\overline{ab}:=\{(1-t)a+tb|t\in [0,1]\}\) die Verbindungsstrecke von a nach b. Eine Teilmenge \({\mathfrak{M}}\) von \(\Re \) heißt genau dann sternförmig, wenn ein \({x}_{0}\in {\mathfrak{M}}\) so existiert, daß \(\overline{{x}_{0}x}\subset {\mathfrak{M}}\) für alle \(x\in {\mathfrak{M}}\) gilt. (Man kann von x₀ aus alle Punkte von \({\mathfrak{M}}\), sehen‘.)

Lemma von Poincare

Ist O sternförmig und\begin{eqnarray}\omega :O\to {{\mathfrak{A}}}_{r+1}(\Re,{\mathfrak{S}})\end{eqnarray}stetig differenzierbar mit dω = 0, dann existiert ein stetig differenzierbares\begin{eqnarray}\alpha :O\to {{\mathfrak{A}}}_{r}(\Re,{\mathfrak{S}})\end{eqnarray}mit dα = ω.

Für Anwendungen – z. B. in der Elektrodynamik – wesentlich sind die Folgerungen im Falle eines 3-dimensionalen orientierten euklidischen Vektorraums \(\Re \) für sternförmiges O und stetig differenzierbare Abbildungen \begin{eqnarray}f:O\to \Re,\ \psi :O\to {\mathbb{R}}:\end{eqnarray}

(1) Es existiert ϕ: O → ℝ stetig differenzierbar mit f = grad ϕ genau dann, wenn rot f = 0.

(2) Es existiert \(g:O\to \Re \)stetig differenzierbar mit f = rotg genau dann, wenn divf = 0.

(3) Es existiert \(h:O\to \Re \)stetig differenzierbar mit div h = ψ.

Singuläre Quader, Ketten, Integrale Orientierte singuläre C₁-Quader

Es seien n ∈ ℕ und \(\Re \ne \{0\}\) ein normierter Vektorraum. Für \(h,k:{[0,1]}^{n}\to \Re \) gelte h ∼ k genau dann, wenn eine bijektive stetig differenzierbare Abbildung \(\varphi :{[0,1]}^{n}\to {[0,1]}^{n}\) so existiert, daß det φ′(x) > 0 für alle x ∈ [0, l]ⁿ gilt, und φ⁻¹ stetig differenzierbar ist mit k = h ○ φ.

∼ ist eine Äquivalenzrelation. Für eine stetig differenzierbare Abbildung \(h:{[0,1]}^{n}\to \Re \) heißt eine zugehörige Äquivalenzklasse Qⁿ„orientierter singulärer n-dimensionaler C₁-Quader in \(\Re \)“ und h eine Parameterdarstellung von Qⁿ. Mit (Qⁿ) := h([0, 1]ⁿ) notiert man den ‚Träger‘ von Qⁿ. Entsprechend – mit det φ(x) < 0 – wird −Qⁿ definiert. Qⁿ heißt „orientierter singulärer n-dimensionaler C₂-Quader in \(\Re \)“, wenn eine zweimal stetig differenzierbare Parameterdarstellung existiert.

Ergänzend setzt man noch für n = 0 : Für \(x\in \Re \) und η ∈ {−1, 1} heißt \({Q}^{0}:=(x,\eta)\) „orientierter 0-dimensionaler Quader in \(\Re \)“ mit \(-{Q}^{0}:=(x,-\eta)\) und \(({Q}^{0}):=\{x\}\).

Integrale von Feldern über C₁-Quadern

Es seien wieder \(\Re \) ein normierter Vektorraum und \({\mathfrak{S}}\) ein Banaehraum, beide ungleich {0}, dazu mit n ∈ ℕ ein orientierter singulärer n-dimensionaler C₁-Quader Qⁿ in \(\Re \) mit Parameterdarstellung \(h,\,({{Q}^{n}})\subset \mathfrak{D}\subset \Re, \, f:\mathfrak{D}\to {{\mathfrak{A}}_{n}}(\Re, \mathfrak{S})\) stetig und e₁, …, e_n die kanonische Einheitsbasis des ℝⁿ: Man definiert \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int}\limits_{{Q}^{n}}f:=\displaystyle \mathop{\int}\limits_{{[0,1]}^{n}}f(h(x))({h}^{\prime}(x){e}_{1,\,\ldots,\,}{h}^{\prime}(x){e}_{n})dx.\end{eqnarray} Es ist also rechts eine \({\mathfrak{S}}\)-wertige stetige Abbildung (von n Variablen) zu integrieren. Dieses Integral erweist sich als unabhängig von der gewählten Parameterdarstellung.

Ergänzend setzt man noch für n = 0 und Q⁰ := (x, η) mit \(x\in \Re, \eta \in \{-1,1\}\) für \(x\in {\mathfrak{D}}\subset \Re \) und stetiges \(f:{\mathfrak{D}}\to {{\mathfrak{A}}}_{0}(\Re, {\mathfrak{S}})(={\mathfrak{S}})\): \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int}\limits_{{Q}^{0}}f:=\eta f(x)\end{eqnarray}

Ketten, Integrale über Ketten

Neben \(\Re, {\mathfrak{S}},O\) und n wie in vorangehenden Abschnitten seien v ∈ {1, 2} und \(f:O\to {{\mathfrak{A}}}_{n}(\Re, {\mathfrak{S}})\) stetig.

Man betrachtet mit \({{\mathfrak{O}}}_{\nu}^{n}(O)\) die Menge der orientierten singulären n-dimensionalen C_v-Quader Qⁿ in \(\Re \) mit (Qⁿ) ⊂ O und definiert damit „singuläre n-dimensionale C_v-Ketten in O“ als endliche Summen solcher Quader, genauer:

\({{\mathbb{K}}}_{\nu}^{n}(O)\) bezeichne die Gesamtheit der Abbildungen \({\mathfrak{K}}\) von \({{\mathfrak{O}}}_{\nu}^{n}(O)\) in \({\mathbb{Z}}\), für die gilt \begin{eqnarray}\left\{{{Q}^{n}}\in \mathfrak{D}_{\nu}^{n}\left(O \right)\left| \mathfrak{K}\left({{O}^{n}} \right)\ne 0 \right. \right\}\,\,\,\,\,\text{ist endlich}\end{eqnarray} und \({\mathfrak{K}}(-{Q}^{n})=-{\mathfrak{K}}({Q}^{n})\) für alle \({Q}^{n}\in {{\mathfrak{O}}}_{\nu}^{n}(O)\). Mit naheliegender Einbettung von \({{\mathfrak{O}}}_{\nu}^{n}(O)\) in \({{\mathbb{K}}}_{\nu}^{n}(O)\) hat man dann: \begin{eqnarray}{{\mathbb{K}}}_{\nu}^{n}(O)=\left\{\displaystyle \sum _{k=1}^{k}{\alpha}_{k}{Q}_{k}^{n}|{\alpha}_{k}\in {\mathbb{Z}},{Q}_{k}^{n}\in {\mathfrak{D}}_{\nu}^{n}(O);k\in {\mathbb{N}}\right\}\end{eqnarray} Für ein \({\mathfrak{K}}\in {{\mathbb{K}}}_{l}^{n}(O)\) mit einer solchen Darstellung \(\sum_{\kappa =1}^{k}\,{{\alpha}_{\kappa}}Q_{\kappa}^{n}\) definiert man \begin{eqnarray}\int\limits_{\mathfrak{K}}{f}\,:=\,\sum\limits_{k=1}^{k}{{{\alpha}_{k}}}\int\limits_{Q_{k}^{n}}{f}\end{eqnarray} und hat dabei zur Rechtfertigung \(\int _{-{{Q}^{n}}}f=-\int _{{{Q}^{n}}}f\) für \({Q}^{n}\in {{\mathfrak{O}}}_{\nu}^{n}(O)\) zu beachten.

Mit punktweise definierter Addition + ist \(({{\mathbb{K}}}_{\nu}^{n}(O),+)\) abelsche Gruppe. Für \({{\mathfrak{K}}}_{1},{{\mathfrak{K}}}_{2}\in {{\mathbb{K}}}_{l}^{n}(O)\) hat man: \begin{eqnarray}\int\limits_{\mathfrak{K}1+\mathfrak{K}2}{f}\,\,=\int\limits_{\mathfrak{K}1}{f}+\int\limits_{\mathfrak{K}2}{f}\end{eqnarray}

Der Randoperator ∂

Es seien \(n\in {\mathbb{N}},\Re \) ein nicht-trivialer normierter Vektorraum und \(\varnothing \ne O\) offen \(\subset \Re \). Für einen orientierten singulären n-dimensionalen C₁-Quader Qⁿ in \(\Re \) mit einer Parameterdarstellung h sei \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{{\partial}_{1}}{{Q}^{1}}:=\left(h\left(O \right),\,-1 \right)+\left(h\left(1 \right),1 \right)\,\, &, \,n=1 \\{{\partial}_{n}}{{Q}^{n}}:=\sum\limits_{\nu=1}^{n}{\sum\limits_{\kappa=0}^{1}{\left(-1 \right){{\,}^{\nu+\kappa}}\left[ h\circ \,{{k}_{\nu,\kappa}}\, \right]\,}} & \,,\,n>1 \\ \end{array}\end{eqnarray} Dabei sei:

\({\partial}_{n}:{{\mathbb{K}}}_{1}^{n}(O)\to {{\mathbb{K}}}_{1}^{n-1}(O)\)isi linear und \({\partial}_{n}{\partial}_{n+1}=0\).

Integralsatz von Stokes (allgemeine Version)

In \({\mathbb{R}}\) lautet eine Folgerung aus dem Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung für stetig differenzierbares f: \begin{eqnarray}\int\limits_{a}^{b}{f^\prime \,\,=f\left(b \right)}\,-\,f\left(a \right).\end{eqnarray} Das Integral wird auf die Werte einer Stammfunktion am Rande zurückgeführt. Entsprechend zeigt man für Kurvenintegrale in der mehrdimensionalen Analysis unter geeigneten Voraussetzungen \begin{eqnarray}\int_{\mathfrak{E}}{\left\langle f{{\left| d \right.}_{\mathfrak{x}}} \right\rangle \,=\,\,F\left(e\left(\mathfrak{C} \right) \right)\,-F\left(a\left(\mathfrak{C} \right) \right)\,,}\,\end{eqnarray} wobei F eine Stammfunktion zu f und a\((\mathfrak{C})\) bzw. e\((\mathfrak{C})\) Anfangs- bzw. Endpunkt von \(\mathfrak{C}\) sind.

Der nachfolgende – in einer einfachen Form auf George Gabriel Stokes zurückgehende – Satz liefert ein Analogon für wesentlich allgemeinere Situationen.

Es seien \(\Re \)ein normierter Vektorraum und \({\mathfrak{S}}\)ein Banachraum, beide nicht-trivial. Mit n ∈ ℕ und einer nicht-leeren offenen Teilmenge O von \(\Re \)sei\begin{eqnarray}f:O\to {{\mathfrak{A}}_{n-1}}(\Re, \mathfrak{S})\,stetig\,differenzierbar\end{eqnarray}und \({\mathfrak{K}}\in {{\mathbb{K}}}_{2}^{n}(O)\). Dann gilt:\begin{eqnarray}\int\limits_{\mathfrak{K}}{df\,\,=\,\,}\int\limits_{\partial \mathfrak{K}}{f\,}\end{eqnarray}

Die Beweisidee ist nicht besonders tiefliegend. Die eigentliche Schwierigkeit besteht darin, den erforderlichen umfangreichen ‚Apparat‘ für eine saubere Formulierung und einen strengen Beweis bereitzustellen.

Spezialfälle: Glatte Quader

Es seien \(\{0\}\ne \Re \) normierter Vektorraum, n ∈ ℕ und \({Q}^{n}\in {{\mathfrak{O}}}_{1}^{n}(\Re)\). Qⁿ heißt genau dann „glatt“, wenn eine injektive Parameterdarstellung h existiert, für die h′(x) für alle x ∈ [0, 1]ⁿ injektiv ist. Ist Qⁿ glatt, so ist jede Parameterdarstellung k injektiv und k′(x) stets injektiv.

Für Teilmengen \({\mathfrak{M}}\) von (Qⁿ) eines glatten Quaders können Meßbarkeit durch die Lebesgue-Meßbarkeit (im ℝⁿ) der Urbilder h⁻¹ (\({\mathfrak{M}}\)) erklärt werden. Das resultierende System \({{\mathbb{M}}}_{\omega}({Q}^{n})\) ist σ-Algebra über (Qⁿ). Mittels der kanonischen Basis e₁, …, e_n des ℝⁿ kann auf diesen Mengen durch \begin{eqnarray}\omega \left(\mathfrak{M} \right)\,\,:=\,\,\,\int\limits_{{{h}^{-1}}\left(\mathfrak{M} \right)}{t\left(h^\prime\left(x \right){{e}_{1,\ldots,}}h^\prime\left(x \right){{e}_{n}} \right)\text{d}{{\mu}_{n}}\left(x \right)}\end{eqnarray} − genauer auch \({\omega}_{{Q}^{n}}({\mathfrak{M}})\) – ein ‚Maß‘ \begin{eqnarray}\omega :\,{{\mathbb{M}}_{\omega}}\left({{Q}^{n}} \right)\,\,\to \,\,[ 0,\infty)\end{eqnarray} definiert werden. Hierbei ist für \(({h}_{1},\ldots, {h}_{n})\in {\Re}^{n}\)\begin{eqnarray}\begin{array}{l}t\left({{h}_{1}},\ldots, {{h}_{n}} \right)\\ :=\,\sup \left. \left\{f\left({{h}_{1}},\ldots, {{h}_{n}} \right) \right.\left| f\,\in \,\, \right.{{\mathfrak{A}}_{n}}\,\wedge \,\left. \left| f \right. \right|\,=1 \right\}\,.\end{array}\end{eqnarray} Für Maße dieser Art und zugehörige integrierbare Funktionen können dann noch geeignete Transformationssätze bereitgestellt werden.

Volumen in euklidischen Räumen

Es seien \((\Re, (\cdot |\cdot),{\mathbb{O}})\) ein orientierter euklidischer Vektorraum mit ℕ ∋ dim \(\Re =:n+1\) und \(({f}_{1},\ldots, {f}_{n+1})\) orientierte Orthonormalbasis. Mit dem kanonischen Isomorphismus \(\Phi :{{\mathbb{R}}}^{n+1}\to \Re \), definiert durch \begin{eqnarray}\,\Phi \left({{\alpha}_{1,\ldots,}}{{\alpha}_{n+1}} \right)\,\,:=\,\,\sum\limits_{\nu=1}^{n+1}{{{\alpha}_{\nu}}{{f}_{\nu}},}\end{eqnarray} können dann Maß und Meßbarkeit trivial übertragen werden; dies ergibt: \({{\mathbb{M}}}_{\nu}\), ist σ-Algebra über \(\Re \) und \(v:{{\mathbb{M}}}_{\nu}\to [0,\infty ]\) abzählbar-additiv. Dazu erhält man nun leicht:

Es seien \({Q}^{n+1}\in {{\mathfrak{O}}}_{1}^{n+1}(\Re)\)glatt mit einer Parameterdarstellung h, die \(({h}^{\prime}(x){e}_{1},\ldots,{h}^{\prime}(x){e}_{n+1})\in {\mathbb{O}}\)für alle \(x\in {[0,1]}^{n+1}\)erfüllt. Für eine stetig differenzierbare Abbildung \(f:({Q}^{n+1})\to \Re \)gilt dann:\begin{eqnarray}\int\limits_{{{Q}^{n+1}}}{d}\left(*\tau f \right)\,\,=\,\,\int\limits_{\left({{Q}^{n+1}} \right)}{\text{div}\,}f\,dv\end{eqnarray}

Zirkulation

Es seien wieder \((\Re, (\cdot |\cdot),{\mathbb{O}})\) ein orientierter euklidischer Vektorraum mit ℕ ∋ dim \(\Re =:n+1\) und dazu \({Q}^{1}\in {{\mathfrak{O}}}_{1}^{1}(\Re)\) glatt.

Für y ∈ (Q¹), h ∈ Q¹ und X ∈ [0, 1] mit h(x) = y kann – unabhängig von dem speziellen h – der „Tangenteneinheitsvektor“\begin{eqnarray}\mathfrak{t}\left(y \right)\,\,:=\,\,\frac{h^\prime \left(x \right)}{\left| h^\prime \left(x \right) \right|}\end{eqnarray} definiert werden. Damit hat man nun

Für \(f:({Q}^{1})\to \Re \)stetig: \begin{eqnarray}\int\limits_{{{Q}^{1}}}{\tau f\,\,=\int\limits_{{{Q}^{1}}}{\left(f\left| \mathfrak{t} \right. \right)}}\,d\omega \end{eqnarray}

ω mißt die Kurvenlänge (Bogenlänge), die oft mit notiert wird. Die rechte Seite dieser Formel wird als „Zirkulation von f längs Q¹“ bezeichnet.

Fluß

Es seien \((\Re, (\cdot |\cdot),{\mathbb{O}})\) ein orientierter euklidischer Vektorraum mit \({\mathbb{N}}\backslash \{1\}\ni \dim \Re =:n+1\), \({{Q}^{n}}\in \mathfrak{O}_{1}^{n}(\Re)\) glatt und (e₁…, e_n) die kanonische Basis des ℝⁿ.

Für y ∈ (Qⁿ), h ∈ Qⁿ und x ∈ [0, 1]ⁿ mit h(x) = y kann – unabhängig von dem speziellen h – der „Tangenteneinheitsvektor“\begin{eqnarray}{\mathfrak{n}}(y):={(-1)}^{n}\frac{\displaystyle \prod _{\nu=1}^{n}{h}^{\prime}(x){e}_{\nu}}{\left|\displaystyle \prod _{\nu=1}^{n}{h}^{\prime}(x){e}_{\nu}\right|}\end{eqnarray} definiert werden. Damit hat man hier

Für \(f:({Q}^{n})\to \Re \)stetig ist\begin{eqnarray}\int\limits_{Qn}{*}\,\tau f=\int\limits_{\left({{Q}^{n}} \right)}{\left(f/\mathfrak{n} \right)d\omega.}\end{eqnarray}Dabei gilt \(({\mathfrak{n}}(h(x)),{h}^{\prime}(x){e}_{1},\ldots, {h}^{\prime}(x){e}_{n})\in {\mathbb{O}}\)für alle x ∈ [0, 1]ⁿ.

Die rechte Seite der Integralbeziehung wird als „Fluß von f durch Q“ bezeichnet.

Divergenzsatz (Ostrogradski, Gauß)

Es seien \((\Re, (\cdot |\cdot),{\mathbb{O}})\) ein orientierter euklidischer Vektorraum mit \(\Re =:n+1,{Q}^{n+1}\in {{\mathfrak{O}}}_{2}^{n+1}(\Re)\) glatt, \({Q}^{n+1}\ni h\) zweimal stetig differenzierbar. Mit der kanonischen Basis \(({e}_{1},\ldots, {e}_{n+1})\) des \({{\mathbb{R}}}^{n+1}\) gelte \(({h}^{\prime}(x){e}_{1},\ldots,{h}^{\prime}(x){e}_{n+1})\in {\mathbb{O}}\) für alle \(x\in {[0,1]}^{n+1}\).

Für stetig differenzierbares \(f:({Q}^{n+1})\to \Re \)gilt:\begin{eqnarray}\int\limits_{\left({{Q}^{n+1}} \right)}{\text{div}\,f\,dv}=\int\limits_{\left(\partial {{Q}^{n+1}} \right)}{\left(f/\mathfrak{n} \right)}d\omega \end{eqnarray}

Hieraus erhält man für ‚schöne‘ \({\mathfrak{K}}\in {{\mathbb{K}}}_{2}^{n+1}({\Re})\) (Summe von endlich vielen \({Q}^{n+1}\) wie oben) \begin{eqnarray}\int\limits_{\left(\mathfrak{K} \right)}{\text{div}}f\,dv\,=\int\limits_{\left(\partial \mathfrak{K} \right)}{\left(f\left| \mathfrak{n} \right. \right)\,d\omega}\end{eqnarray}

Spezieller Satz von Stokes

Es seien abschließend \((\Re, (\cdot |\cdot),{\mathbb{O}})\) ein orientierter euklidischer Vektorraum der Dimension 3, \({Q}^{2}\in {{\mathfrak{O}}}_{2}^{2}(\Re)\) glatt und \(f:({Q}^{2})\to \Re \) stetig differenzierbar. Dann folgt \begin{eqnarray}\int\limits_{\left(\partial {{Q}^{2}} \right)}{\left(f\left| \mathfrak{t} \right. \right)}\,d\omega \,=\int\limits_{\left({{Q}^{2}} \right)}{\left(\text{rot}f\left| \mathfrak{n} \right.\right)}d\omega\end{eqnarray}

Abschließende Bemerkungen

Die hier skizzierte Darstellung der Vektoranalysis gibt den Blick ‚von oben‘ – koordinatenfrei und damit invariant. Erst anschließenä wird jeweils der auf Koordinaten bezogene Ausdruck hergeleitet. So ist auch die Anwendbarkeit ungemindert gegeben.

Literatur

[1] Barner, M.; Flohr F.: Analysis II. Walter de Gruyter Berlin, 1983.

[2] Cartan, H.: Differentialformen. Bibliogr. Inst. Mannheim, 1974.

[3] Holmann, H.; Rummler, H.: Alternierende Differentialformen. B.I.-Wissenschaftsverlag Mannheim, 1972.

[4] Jänich, K.: Vektoranalysis. Springer Berlin, 1993.

[5] Kaballo, W.: Einführung in die Analysis III. Spektrum Akademischer Verlag, 1999.

[6] Kellog, O.D.: Foundations of Potential Theory. Springer Berlin, 1967.