ein stetiger Schnitt über der n-dimensionalen Sphäre Sⁿ in das Tangentialbündel TSⁿ der Sphäre.

Von besonderem Interesse ist die Frage, für welche Werte von n Vektorfelder existieren, die nirgends verschwinden. Diese Frage kann mit Methoden der algebraischen Topologie beantwortet werden.

Die Sphäre Sⁿ besitzt genau dann ein Vektorfeld ohne Nullstellen, falls n ungerade ist.

Insbesondere besitzt jedes Vektorfeld auf der zweidimensionalen Kugelsphäre eine Nullstelle (Satz vom Igel).

Eine Aussage für allgemeinere Mannigfaltigkeiten liefert der folgende Satz:

Eine kompakte Mannigfaltigkeit M besitzt genau dann ein Vektorfeld ohne Nullstellen, wenn die Eulersche Charakteristik_χ(M) = Σ_i(−1)ⁱb_i gleich Null ist.

Hierbei sind die b_i = dim Hⁱ(M, ℝ) die topologisehen Betti-Zahlen von M.

Für die Sphären gilt \begin{eqnarray}\chi ({S}^{n})=\left\{{}_{0,\ n\ \ \text{ist ungerade}.\ \}^{2,\ n\ \text{ist gerde},}\right.\end{eqnarray}