eine ℝ-Algebrastruktur, definiert auf einem euklidischen Vektorraum (V, ⟨·, ·⟩), die besondere Eigenschaften besitzt.

Sei V mit dem Skalarprodukt ⟨·, ·⟩ ein euklidischer Vektorraum mit der Norm \(||x||:=\sqrt{\langle x,x\rangle}\), und sei × : V × V → V eine bilineare Verknüpfung, die V zu einer (nicht notwendig assoziativen) ℝ-Algebra macht. Das Tripel (V, ×, ⟨·, ·⟩) heißt Vektorproduktalgebra, falls für alle x, y, z ∈ V gilt:

1. x × y = −y × x, (AntiSymmetrie),
2. ⟨x × y, z⟩ = ⟨x, y × z⟩, (Vertauschung).
3. Aus ||x|| = ||y|| = 1 und ⟨x, y⟩ = 0 folgt ||x × y|| = 1.

Beispiele von Vektorproduktalgebren werden durch die folgenden Algebren gegeben:

1. Der ℝ¹ mit x × y = 0.
2. Der ℝ³ mit dem vektoriellen Kreuzprodukt. Dieses Produkt kann auch erhalten werden, indem man den ℝ³ mit dem Imaginärraum der Hamiltonschen Quaternionenalgebra ℍ identifiziert und \begin{eqnarray}x\times y:=\frac{1}{2}(x.y-y.x)\end{eqnarray} setzt. Die Multiplikation ist die Multiplikation innerhalb der Algebra der Quaternionen.
3. Der ℝ⁷ kann mit dem Imaginärraum der Oktonienalgebra 𝕆 identifiziert werden. Durch Setzen von \begin{eqnarray}x\times y:=\frac{1}{2}(x.y-y.x)\end{eqnarray} wird ein Produkt definiert, das den ℝ⁷ zu einer Vektorproduktalgebra macht. Hierbei ist die Multiplikation die Multiplikation innerhalb der Algebra der Oktonien.

Es ist zu beachten, daß ℝ¹ auch mit dem Imaginärraum der komplexen Zahlen ℂ identifiziert werden und dann das Produkt ebenfalls in obiger Weise beschrieben werden kann. Es gilt allgemein der Satz:

Bis auf längentreue Isomorphie sind die drei Imaginärräume\begin{eqnarray}\text{Im}\mathbb{C}\cong {{\mathbb{R}}^{1}},\,\,\,\,\,\text{Im}\mathbb{H}\cong {{\mathbb{R}}^{4}},\,\,\,\,\text{Im}\mathbb{O}\cong {{\mathbb{R}}^{7}},\end{eqnarray}zusammen mit dem Produkt\begin{eqnarray}x\times y:=\frac{1}{2}(x.y-y.x)\end{eqnarray}die einzigen Vektorproduktalgebren.

Insbesondere gibt es keine unendlichdimensionalen Vektorproduktalgebren. Die Vektorproduktalgebren ℝ¹ und ℝ³ sind Lie-Algebren, die Algebra ℝ⁷ ist keine Lie-Algebra, sondern lediglich eine Malcev-Algebra.