überbegriff für Moore-Penrose-Inverse und Pseudoinverse, oft allerdings auch synonym zu diesen verwendet.

Die verallgemeinerte Inverse ist die dureil die Forderungen \begin{eqnarray}\begin{array}{rcl}A{{A}^{\dagger}}A,&=&A \\ {{A}^{\dagger}}A{{A}^{\dagger}}&=&A \\ {{\left(A{{A}^{\dagger}} \right)}^{\ast}}&=&A{{A}^{\dagger}} \\ {{\left({{A}^{\dagger}}A \right)}^{\ast}}&=&{{A}^{\dagger}}A\end{array}\end{eqnarray} eindeutig bestimmte (n × m)-Matrix A^† zu einer gegebenen (m × n)-Matrix A. Hierbei bezeichnet C* zu einer Matrix C die konjugiert transponierte Matrix. Es seien Matrizen mit Elementen aus 𝕂 ∈ {ℝ, ℂ} betrachtet.

Ist A quadratisch (m = n) und regulär, so ist gerade \begin{eqnarray}{{A}^{-1}}\,\,={{A}^{\dagger}}.\end{eqnarray} In diesem Fall wird für jedes b ∈ 𝕂^m die Gleichung \begin{eqnarray}Ax=b\end{eqnarray} eindeutig gelöst durch x = A⁻¹b.

Im Falle m >n (überbestimmtes Gleichungssystem) ist (1) nicht mehr allgemein lösbar. Dieser Fall tritt jedoch in der Praxis oft auf, wenn etwa mehr Beobachtungen oder Messungen gemacht werden, als unabhängige Parameter gegeben sind. Hier ist es dann sinnvoll, den Restvektor \begin{eqnarray}r:=r\left(x \right):=\,b-Ax\end{eqnarray} zu minimieren. Betrachtet man dies bezüglich der euklidischen Norm || ||₂, so führt die Aufgabe auf die Gauß-Normalgleichung A*Ax: = A*b. Für jedes b existiert ein x, das diese Gleichung löst. A^† liefert eine Lösung minimaler Norm.

Die Überlegungen können auf lineare Abbildungen zwischen Hilberträumen ausgedehnt werden: Dazu seien \({\mathfrak{H}}\) und \({\mathfrak{K}}\) Hilberträume über 𝕂 und \begin{eqnarray}A:{\mathfrak{H}} \to {\mathfrak{K}} \,\,\text{linear, beschr}\mathrm{\ddot{a}}\text{nkt}\text{.}\end{eqnarray} Mit dem Wertebereich R(A) von A definiert man \begin{eqnarray}D({A}^{\dagger}):=R(A)+R{(A)}^{T}.\end{eqnarray} Dann gilt: \begin{eqnarray}{A}^{\dagger}:D({A}^{\dagger})\to \unicode{x0210C}\end{eqnarray} wählt zu b ∈ D(A^†) das eindeutig bestimmte x minimaler Norm, das ||b − Ax|| minimiert. A^† ist ein abgeschlossener, dicht definierter linearer Operator. Ist A invertierbar, dann gilt: A^† = A⁻¹. A^† ist genau dann stetig, wenn R(A) abgeschlossen ist.

[1] Ben-Israel, A.; Greville Th. N. E.: Generalized Inverses. J. Wiley, New York, 1974.