multivariate Verallgemeinerung des Begriffes Bernstein-Polynom.

Verwenden wir im Vektorraum ℝⁿ⁺¹ Koordinaten x₀, …, x_n, so ist das homogene Bernstein-Polynom zum Index I = (i₀, …, i_n) gegeben durch \begin{eqnarray}{\bar{B}}_{1}({x}_{0},\ldots,{x}_{n})=\frac{{i}_{0}!\cdots {i}_{n}!}{({i}_{0}+\cdots +{i}_{n})!}{x}_{0}^{{i}_{0}}\cdots {x}_{n}^{{i}_{n}}.\end{eqnarray} Im affinen Raum ℝⁿ ist das inhomogene Bernstein-Polynom zu den (affin unabhängigen) Punkten \({\overrightarrow{e}}_{0},\ldots,{\overrightarrow{e}}_{n}\) und zum Index I = (i₀, …, i_n) folgendermaßen definiert: Jeder Punkt \(\overrightarrow{x}\) des Raumes läßt sich in der Form \begin{eqnarray}\begin{array}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{x}={{x}_{0}}\,\overrightarrow{{{e}_{0}}}+\cdots +{{x}_{n}}\,\overrightarrow{{{e}_{n}}} \\ \text{mit}\,\,\,\,\,{{{x}}_{0}}+\cdots +{{x}_{n}}=1\end{array}\end{eqnarray} schreiben. Dann setzt man \begin{eqnarray}{B}_{1}(\overrightarrow{x})={\bar{B}}_{1}({x}_{0},\ldots,{x}_{n}).\end{eqnarray} Ist beispielsweise n = 1, und wählen wir \({\overrightarrow{e}}_{0}=0,{\overrightarrow{e}}_{1}=1\), so ergeben sich für x ∈ ℝ¹ die Werte x₀ = 1 − x, x₁ = x, und wir erhalten die gewöhnlichen univariaten Bernstein-Polynome \begin{eqnarray}{B}_{n-i,i}(x)=\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right){(1-x)}^{i}{x}^{n-i}.\end{eqnarray}