mathematisch exakte Beschreibung des anschaulichen Vorgangs, bei dem eine aus biegsamem aber nicht dehnbarem Material, z. B. aus Papier, gefertigte zylinderartige Fläche längs einer Mantellinie aufgeschnitten und danach gerade gebogen wird.

Man kann eine Parameterdarstellung \begin{eqnarray}\Phi (u,v)=\alpha (u)+v \mathfrak{n}\end{eqnarray} der Zylinderfläche derart wählen, daß die Basiskurve α(u) zu dem festen Richtungsvektor \({\mathfrak{n}}\in {{\mathbb{R}}}^{3}\) senkrecht ist und durch ihre Bogenlänge parametrisiert wird. Dann liegt α(t) in einer Ebene E ⊂ ℝ³. Definiert man eine einparametrige Kurvenschar in E durch \begin{eqnarray}{\alpha}_{1}(u)=\alpha (0)+\frac{\alpha (tu)-\alpha (0)}{t},\end{eqnarray} so haben auch alle Tangentialvektoren dα_t(u)/du die Länge 1, und es gilt \begin{eqnarray}{\alpha}_{1}(u)=\alpha (u)\ \text{und}\ {\alpha}_{0}(u)=\alpha (0)+u\alpha {^\prime}(0).\end{eqnarray} Demnach ist α_t(u) eine Verbiegung der ebenen Kurve α(u) in eine Gerade. Die erste Gaußsche Fundamentalform der Familie \begin{eqnarray}{\Phi}_{t}(u,v)={\alpha}_{t}(u)+v \mathcal{n}\end{eqnarray} von Zylinderflächen ist dann eine Diagonalmatrix mit den Diagonalelementen \begin{eqnarray}{{E}_{t}}=\frac{d{{\alpha}_{t}}\left(u \right)}{du}\cdot \frac{d{{\alpha}_{t}}\left(u \right)}{du}=1\,\text{und}\,{{G}_{t\,}}\,=\mathcal{n}\cdot\mathcal{n},\end{eqnarray} also dieselbe Matrix für alle t. Daher sind alle Flächen Φ_t(u, v) untereinander isometrisch. Es gilt Φ₁(u, v) = Φ(u, ν), und Φ₀(u,v) ist eine Parameterdarstellung einer offenen Teilmenge der Ebene E.