durch eine Schar von Drehflächen konstanter Gaußscher Krümmung dargestellte isometrische Verformung von Teilbereichen der Kugeloberfläche.

Die einparametrige Schar \begin{eqnarray}{{\Phi}_{t}}\left(u,v \right)=\left(\begin{array}{*{35}{l}}t\,\cos \left(u\ \right)\,\cos \left(\displaystyle\frac{v}{t}\right)\, \\t\,\cos \left(u \right)\,\sin \left(\displaystyle\frac{v}{t} \right) \\ \int\limits_{0}^{u}{\sqrt{1-{{t}^{2}}{{\sin}^{2}}\left(\tau \right)d\tau}} \\ \end{array} \right)\end{eqnarray} von Abbildung liefert Parameterdarstellungen von regulären Flächen \({{\mathcal F}}_{t}\), die sämtlich die Gaußsche Krümmungk = 1 haben, überdies haben alle Flächen \({{\mathcal F}}_{t}\) dieselbe erste Gaußsche Fundamentalform. Diese wird in der Parametrisierung Φ_t(u, v) durch eine Diagonalmatrix mit den Diagonalelementen E = 1 und G = cos²u dargestellt. Somit ist die durch \begin{eqnarray}{F}_{s,t}={\Phi}_{t} \circ {\Phi}_{s}^{-1}\end{eqnarray} definierte Abbildung eine Isometrie von \({{\mathcal F}}_{s}\) auf \({{\mathcal F}}_{t}\).

Φ₁(u, v) ist die übliche Parametrisierung der Kugel vom Radius 1 durch Polarkoordinaten, und die Familie \({{\mathcal F}}_{t}\) ergibt eine Verbiegung der Kugeloberfläche in Drehflächen konstanter Gaußscher Krümmung 1.

Da der Integrand als reelle Größe nur für |t sin(u)] ≤ 1 definiert ist, muß im Fall t > 1 der Parameter u im Bereich \begin{eqnarray}\left| u \right|\,\,\le \,\,\text{arcsin}\left(1/t \right)\end{eqnarray} liegen. Diese Ungleichung beschreibt auch den Bereich der Kugeloberfläche, der zur Fläche \({{\mathcal F}}_{t}\) isometrisch ist. Dies ist mit wachsendem t eine zunehmend schmaler werdende Region beiderseits des Äquators.

Sie spiegelt die Tatsache wider, daß die Kugeloberfläche an den Polen aufgeschnitten werden muß. Als Ganzes kann sie nach dem Satz über die Starrheit der Eiflächen (vgl. globale Flächentheorie) nicht verbiegbar sein.

Die Graphik zeigt diese Familie für die Parameterwerte t = 0.6, 0.8 (erste Reihe) und 1,1.2 (zweite Reihe).