dient zur mathematischen Beschreibung von zufälligen Ereignissen bzw. Zufallsexperimenten.

Als „empirische Verteilung“ bezeichnet man das Ergebnis einer Reihe von Messungen einer Zielgröße. Mit „theoretischen Verteilungen“ versucht man, den Ausgang von Zufallsexperimenten über Verteilungsfunktionen mathematisch zu beschreiben. Diese werden i.d.R. durch zwei Parameter charakterisiert, die unmittelbar mit dem Erwartungswertundder Varianz der Verteilung verbunden sind.

Für Beobachtungen mit einem diskreten Ereignisraum ist die theoretische Verteilung durch eine Zähldichte zu charakterisieren. Diese gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, daß ein Experiment mit einer Zufallsvariablen X(ω) den Ausgang X(ω) = k hat, vgl. Verteilung einer Zufallsvariablen. Diskrete Verteilungen spielen z. B. in der Versicherungsmathematik eine Rolle (Schadenanzahlprozeß).

Beobachtungen mit einem kontinuierlichen Ereignisraum R werden durch eine Verteilungsdichte (Wahrscheinlichkeitsdichte) P(x) : R → [0, 1] charakterisiert. Das Maß P(x)dx gibt die Wahrscheinlicheit dafür an, daß ein Experiment mit der Zielgröße X(ω) eine Ergebnis im Intervall [x, x + dx] hat. Eine wichtige Klasse sind Exponentialverteilungen, deren Dichte von der Form c(σ) exp(h(σ)g(x) ist, speziell etwa die Normalverteilung.

Mit Hilfe der charakteristischen Funktion, definiert als die Fourier-Transformierte der Verteilungsdichte \(\chi p(z)=\displaystyle \int \exp (ixz)p(x)dx,\) sind Faltungen von Verteilungen relativ leicht auswerten, was für Anwendungen von Bedeutung ist. Diese existiert allerdings nur für Verteilungen, die asymptotisch exponentiell beschränkt sind, etwa die Normalverteilung und die Gamma-Verteilung. Sofern das betreffende Integral divergiert, spricht man von subexponentiellen Verteilungen. Unter diesen spielen die Lognormal- und die Pareto-Verteilung bei der Beschreibung von Großschäden (Großschadenverteilungen) eine besondere Rolle.