Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen

Lexikon der Mathematik: Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen

üblicherweise die durch \begin{eqnarray}{F}_{X}(x):=P(X\le x)\end{eqnarray} definierte Abbildung F_X : ℝ → [0,1], wobei X eine auf einem Wahrscheinlichkeitsraum \((\Omega, {\mathfrak{A}},P)\) definierte reelle Zufallsvariable bezeichnet.

Man nennt F_X dann die Verteilungsfunktion von X. Die Verteilungsfunktion F_X besitzt die folgenden Eigenschaften:

F_X ist monoton wachsend.

F_X ist rechtsseitig stetig.

Es gilt lim_{x → − ∞}F_x(x) = 0 und lim_{x→ ∞}F_x (x) = 1.Die Verteilungsfunktion F_X von X ist eindeutig durch die Verteilung P_X von X bestimmt und umgekehrt. Ist X stetig, d. h. besitzt die Verteilung P_X von X eine Wahrscheinlichkeitsdichte f_X, so kann die Verteilungsfunktion in der Form \begin{eqnarray}{F}_{X}(x)=\displaystyle \underset{-\infty}{\overset{x}{\int}}fx(u)du \end{eqnarray} dargestellt werden. In diesem Fall ist F_X sogar stetig. Ist die Zufallsvariable X diskret, und bezeichnen x₁, x₂,…die Elemente aus dem Bild von X mit P(X = x₁) > 0, so besitzt F_X die Darstellung \begin{eqnarray}{F}_{X}(x)=\displaystyle \sum _{{x}_{i}:{x}_{i}\le x}P(X={x}_{i}).\end{eqnarray}F_X ist dann eine Treppenfunktion, die an den Stellen x_i Sprünge der Höhe P(X = x_i) aufweist.

Häufig wird die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen X auch durch F_X(x) : = P(X< x) definiert. Für die so definierte Verteilungsfunktion gelten ebenfalls die Eigenschaften (i) und (iii), statt

(ii) aber:

(ii’) F_X ist linksseitig stetig.

Die beiden Möglichkeiten der Definition unterscheiden sich für diskrete Zufallsvariablen, so erstreckt sich bei Verwendung der zweiten Definition etwa in der obigen Summendarstellung von F_X(x) die Summation nur über die x_i mit x_i< x, sind für stetige Zufallsvariablen aber äquivalent.

Schließlich sei noch bemerkt, daß es sich bei der Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable X und der Verteilungsfunktion der Verteilung P_X von X um das gleiche mathematische Objekt handelt.

Lexikon der Mathematik: Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen

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