Begriff aus der Maßtheorie.

Es sei \(({\rm{\Omega }},{\mathcal{A}},\mu )\) einMaßraumund \({\mathcal{N}}:=\{A\subseteq {\rm{\Omega }}|\exists B\in {\mathcal{A}}\quad \text{mit}\quad A\subseteq B\quad \text{und}\quad \mu (B)=0\}\) das Mengensystem aller Teilmengen von μ-Nullmengen. Dann ist \({{\mathcal{A}}}^{0}:=\{A\cup N|A\in {\mathcal{A}},N\in {\mathcal{N}}\}\) eine σ-Algebra, und \({\mu }^{0}:{{\mathcal{A}}}^{0}\to {\bar{{\mathbb{R}}}}_{+}\), wohldefiniert durch μ⁰(A ∪ N) ≔ μ(A) für alle \(A\in {\mathcal{A}}\) und \(N\in {\mathcal{N}}\), ein Maß auf \({{\mathcal{A}}}^{0}\). Man nennt dann den Maßraum \(({\rm{\Omega }},{{\mathcal{A}}}^{0},{\mu }^{0})\) die μ-Vervollständigung des Maßraumes \(({\rm{\Omega }},{\mathcal{A}},\mu )\), \({{\mathcal{A}}}^{0}\) die μ-Vervollständigung der σ-Algebra \({\mathcal{A}}\) und μ⁰ die Vervollständigung der Maßes μ.

Die Vervollständigung ist die Einschränkung des zugehörigen äußeren Maßes auf die σ-Algebra der meßbaren Mengen bzgl. des äußeren Maßes. Die λ-Vervollständigung des Lebesgue-Maßraumes (ℝ, B(ℝ), λ) ist der größte (feinste) Maßraum über ℝ mit einem bewegungsinvarianten Maß λ mit der Eigenschaft λ([0, 1]) = 1.