ein Begriff, der sich zunächst auf die Multiplikation natürlicher Zahlen bezieht, sich zwanglos auf beliebige (additiv geschriebene) abelsche Gruppen verallgemeinern läßt und auf jeder abelschen Gruppe eine natürliche \({\mathbb{Z}}\)-Modulstruktur durch Vielfachenbildung induziert.

Ist (A, +) eine abelsche Gruppe, so gibt es zu jedem a ∈ A einen durch μ_a(1) = a eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus \({\mu}_{a}:{\mathbb{Z}}\to A\), denn es muß gelten

\begin{eqnarray}\begin{array}{rcl}(m+n)\cdot a & = & m\cdot a+n\cdot a\\ n\cdot (a+b) & = & n\cdot a+n\cdot b\\ m\cdot (n\cdot a) & = & (mn)\cdot a\\ 1\cdot a & = & a,\end{array}\end{eqnarray}

Man definiert nun die Ordnung eines Elements a ∈ A in der Gruppe A als die kleinste nichtnegative ganze Zahl n mit n · a = 0. Ein Spezialfall ist die Ordnung modulo m für eine natürliche Zahl m. Hierbei setzt man für A die prime Restklassengruppe modulo m ein, siehe hierzu auch Restklasse modulo m.