spezielles Mengensystem.

Es sei Ω eine Menge und \({\mathcal{A}}\) ein σ-Mengenring auf Ω, wobei eine isotone Folge \(({A}_{n}|n\in {\mathbb{N}})\subseteq {\mathcal{A}}\) existiert mit \(\displaystyle {\bigcup}_{n\in {\mathbb{N}}}{A}_{n}=\Omega \). Weiter sei μ ein Maß; auf \({\mathcal{A}}\) und \(\{\omega \}\in {\mathcal{A}}\) mit μ({ω}) = 0 für alle ω ∈ Ω.

\({\mathcal{V}}\subseteq {\mathcal{A}}\) heißt Vitali-System bzgl. \({\mathcal{A}}\), falls gilt:

1. Für alle \(A\in {\mathcal{A}}\) und für alle ε > 0 existiert eine Folge \(({V}_{n}|n\in {\mathbb{N}})\subseteq {\mathcal{V}}\) mit \(A\subseteq \displaystyle {\bigcup}_{n\in {\mathbb{N}}}{V}_{n}\) und

   \begin{eqnarray}\mu \left(\displaystyle \mathop{\bigcup}\limits_{n\in {\mathbb{N}}}{V}_{n}\right)\lt \mu (A)+\varepsilon.\end{eqnarray}

2. Jedes \(V\in {\mathcal{V}}\) ist beschränkt, d. h., es existiert ein \(\Gamma (V)\in {\mathcal{A}}\) mit μ(Γ(V)) = 0 so, daß,
   • falls ω ∈ V \ Γ(V), jedes \(U\in {\mathcal{V}}\) mit ω ∈ U und μ(U) hinreichend klein Untermenge von V\Γ(V) ist,
   • falls ω ∉ V∪Γ(V), für jedes U ∈ V mit ω ∈ U und μ(U) hinreichend klein gilt: U∩(V∪Γ(V)) = Ø.