Lexikon der Mathematik: vollkommener Raum
ein Folgenraum, der seinem Bidual entspricht.
Unter einem Folgenraum V versteht man eine Menge von Folgen x = (x1, x2, …) aus abzählbar vielen komplexen Zahlen, die unter den üblichen Operationen
\begin{eqnarray}x+y=({x}_{1}+{y}_{1},{x}_{2}+{y}_{2},\ldots)\end{eqnarray}
und n ) für n ∈ ℕ, so bilden V und V′ unter Verwendung des Produktes
\begin{eqnarray}\lambda x=(\lambda {x}_{1},\lambda {x}_{2},\ldots)\end{eqnarray}
abgeschlossen ist. Die Menge V′ aller Folgen u = (u1, u2,..), für die bei beliebigem x ∈ V stets\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty}|{u}_{i}{x}_{i}|\lt \infty \end{eqnarray}
gilt, ist wieder ein Folgenraum, der als der duale Raum V′ von V bezeichnet wird. Enthält V alle Einheitsvektoren e(\begin{eqnarray}\langle u,v\rangle =\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty}{u}_{i}{x}_{i}\end{eqnarray}
ein Dualsystem. Daher kann man in diesem Fall sowohl auf V als auch auf V′ in natürlicher Weise Topologien einführen. Der zu V′ duale Raum V″ umfaßt V und wird als der biduale Raum von V bezeichnet. Der Raum V heißt dann vollkommen, wenn V = V″ gilt.
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